Ache os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin para as seguintes funções:
raiz[3]1-x^2 sen x

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da Série de Maclaurin de
f(x)=raiz[3]1-x^2;sen x
O conteúdo envolvido é a expansão em série de potências de (1-x^2)^1/3 (usando o teorema binomial) e de sen x, seguido da multiplicação dessas séries.

Passo 2

Expandimos (1 - x^2)^1/3 pelo binomial geral até a ordem x^4, pois x^4cdot x = x^5 já gera o termo x^5 necessário:
(1 - x^2)^1/3 =sumk=0^inftybinom1/3k(-x^2)^k =1-tfrac13x^2-tfrac19x^4+cdots

Passo 3

Expandimos sen x até o termo em x^5:
sen x =x-tfrac16x^3+tfrac1120x^5+cdots

Passo 4

Multiplicamos as duas séries e coletamos potências até x^5:
– Coeficiente de x:
1cdot x = x.
– Coeficiente de x^3:
1cdotl(-tfrac16x^3r) + l(-tfrac13x^2r)cdot x =-tfrac16x^3-tfrac13x^3 =-tfrac12x^3
– Coeficiente de x^5:
1cdottfrac1120x^5 +l(-tfrac13x^2r)cdotl(-tfrac16x^3r) +l(-tfrac19x^4r)cdot x =tfrac1120+tfrac118-tfrac19 =-tfrac17360
Portanto
f(x)=x-tfrac12x^3-tfrac17360x^5+cdots

Resposta

x-tfrac12x^3-tfrac17360x^5

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