Ache os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin para as seguintes funções:
integral0^x e^t cos t d t

Passo 1

O enunciado pede os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
f(x)=integral0^xe^tcos t,dt
O conteúdo que vamos usar é desenvolvimento em série de potências (Maclaurin) de e^t e cos t e posterior integração termo a termo.

Passo 2

Expandimos as séries de Maclaurin até a ordem necessária:
e^t=1+t+t^22+t^36+t^424+cdots, cos t=1-t^22+t^424+cdots
Multiplicando e coletando coeficientes até t^5 temos
e^tcos t =1+t+0cdot t^2-t^33-t^46-t^530+cdots

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 até x:
integral0^xl(1+t-tfract^33-tfract^46+cdotsr),dt =x+x^22-x^412-x^530+cdots

Passo 4

Os três primeiros termos não nulos da expansão de f(x) são
x, x^22, -x^412

Resposta

x+x^22-x^412.

Exercícios de Livros Relacionados