Ache uma solução da equação 10 x^2=cos x correta até a terceira casa decimal. (Sugestão. Substitua cos x por um polinômio que o aproxima bastante de x=0.)

Passo 1

O enunciado pede uma solução da equação
10x^2 = cos x
com precisão até a terceira casa decimal. O método sugerido é aproximar cos x por seu polinômio de Taylor em torno de x=0 e depois refinar, se necessário, por um método numérico (por exemplo, Newton).

Passo 2

A série de Taylor de cos x em torno de 0 até a quarta ordem é
cos x approx 1 - x^22 + x^424
Substituindo na equação 10x^2 = cos x, temos
10x^2 approx 1 - x^22 + x^424
Reagrupando todos os termos num só lado,
10x^2 + x^22 - 1 - x^424 = 0 Longrightarrow 212,x^2 - 1 - x^424 = 0

Passo 3

Multiplicando por 24 para eliminar denominadores,
24 cdot 212,x^2 - 24 - x^4 = 0 Longrightarrow 252,x^2 - 24 - x^4 = 0 Longrightarrow x^4 - 252,x^2 + 24 = 0
Faça t = x^2. Então
t^2 - 252,t + 24 = 0
tem as raízes
t = 252 pm raiz252^2 - 4cdot242 = 252 pm raiz634082 approx 252 pm 251,8102
Dessas, a única viável para |x| pequeno é
t approx 0,09526 Longrightarrow x approx pmraiz0,09526approx pm0,3087

Passo 4

Para refinar, aplicamos uma iteração de Newton em
f(x) = 10x^2 - cos x, f'(x) = 20x + sin x,
com palpite inicial x0=0,3087. Calcula-se
f(x0) approx 10cdot(0,3087)^2 - cos(0,3087) approx 0,9548 - 0,9526 = 0,0022,
f'(x0) approx 20cdot0,3087 + sin(0,3087) approx 6,174 + 0,3041 = 6,4781,
x1 = x0 - f(x0)f'(x0) approx 0,3087 - 0,00226,4781 approx 0,30867

Resposta

Uma solução da equação 10x^2 = cos x com três casas decimais de exatidão é
x approx 0,309

Exercícios de Livros Relacionados