Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
integral0^x sen tt d t

Passo 1

A questão pede os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin da função
f(x)=integral0^xsen tt,dt,
ou seja, queremos desenvolver f(x) em potências de x em torno de zero. Para isso vamos usar a expansão em série de Maclaurin de sen t, depois obter a série de sen t/t e integrar termo a termo. Como a integral está marcada com asterisco, também vamos determinar o intervalo de convergência da série resultante e verificar que a soma da série é de fato f(x).

Passo 2

Começamos pela expansão de Maclaurin de sen t:
sen t = sumk=0^infty(-1)^kt^2k+1(2k+1)!
Dividindo termo a termo por t, obtemos a série para o integrando:
sen tt =sumk=0^infty(-1)^kt^2k(2k+1)!

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 a x:
f(x) =integral0^xsen tt,dt =sumk=0^infty(-1)^kintegral0^xt^2k(2k+1)!,dt =sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1),(2k+1)!

Passo 4

Os três primeiros termos não nulos correspondem a k=0,1,2:
- Para k=0: x^11cdot 1!=x.
- Para k=1: -,x^33cdot3!=-x^318.
- Para k=2: x^55cdot5!=x^5600.
Logo, os três primeiros termos são
x ; - ; x^318 ; + ; x^5600 ; + cdots

Passo 5

A série de sen t tem raio de convergência infinito, logo a de sen t/t também converge para todo tinR (é uma função inteira com singularidade removível em t=0). Pela integração termo a termo em intervalo infinito de convergência, a série de Maclaurin de f(x) converge para todo xinR e soma exatamente
f(x)=integral0^xsen tt,dt.

Resposta

Série de Maclaurin (três primeiros termos não nulos):
integral0^xsen tt,dt = x ;-;x^318;+;x^5600+cdots
Intervalo de convergência: (-infty,infty).
A soma da série é de fato integral0^xsen tt,dt.

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