Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
Passo 1
A questão pede os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin da função
ou seja, queremos desenvolver
em potências de
em torno de zero. Para isso vamos usar a expansão em série de Maclaurin de
, depois obter a série de
e integrar termo a termo. Como a integral está marcada com asterisco, também vamos determinar o intervalo de convergência da série resultante e verificar que a soma da série é de fato
.
Passo 2
Começamos pela expansão de Maclaurin de
:
Dividindo termo a termo por
, obtemos a série para o integrando:
Passo 3
Agora integramos termo a termo de
a
:
Passo 4
Os três primeiros termos não nulos correspondem a
:
- Para :
.
- Para :
.
- Para :
.
Logo, os três primeiros termos são
- Para
- Para
- Para
Logo, os três primeiros termos são
Passo 5
A série de
tem raio de convergência infinito, logo a de
também converge para todo
(é uma função inteira com singularidade removível em
). Pela integração termo a termo em intervalo infinito de convergência, a série de Maclaurin de
converge para todo
e soma exatamente
.
Resposta
Série de Maclaurin (três primeiros termos não nulos):
Intervalo de convergência:
.
A soma da série é de fato .
A soma da série é de fato