Ache os seguintes números com precisão até a terceira casa decimal:
integral0^1 / 4 cos t^3 d t

Passo 1

O enunciado pede a avaliação numérica do integral
integral0^1/4cosl(t^3r),dt
com precisão até a terceira casa decimal. O conteúdo que vamos usar é a expansão em série de Taylor de cos x em torno de x=0, trocar soma por integral termo a termo e estimar o erro de truncamento.

Passo 2

Começamos pela série de Taylor de cos x:
cos x = 1 - x^22 + x^424 - x^6720 + cdots
Substituindo x = t^3 obtemos
cosl(t^3r) = 1 - t^62 + t^1224 - t^18720 + cdots

Passo 3

Integrando termo a termo de 0 a a, com a = tfrac14:
integral0^acos(t^3),dt = integral0^al(1 - t^62 + t^1224 - cdotsr)dt = a - a^714 + a^1324cdot 13 - cdots

Passo 4

Agora substituímos a = tfrac14 e calculamos os primeiros termos:
a = 0,25, a^714 = (0,25)^714approx 4,36times10^-6, a^1324cdot13approx 4,8times10^-11
Logo
integral0^1/4cos(t^3),dt approx 0,25 - 4,36times10^-6 + 4,8times10^-11 = 0,24999564ldots
O próximo termo tem ordem 10^-16, muito abaixo de 10^-3, então a série truncada já garante a precisão desejada.

Passo 5

Arredondando 0,24999564ldots à terceira casa decimal, obtemos
0,250

Resposta

0,250

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