(Unifesp-SP) “Números triangulares” são números que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos equiláteros. É conveniente definir 1 como o primeiro número triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares.

1

Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1=1, T2=3, T3=6, T4=10, e assim por diante. Dado que Tn satisfaz a relação Tn=Tn-1+n, para n=2,3,4, ldots, pode-se deduzir que T100 é igual a:

Passo 1

O enunciado define os “números triangulares” Tn por
T1 = 1, Tn = Tn-1 + n(n>=2),
e pede o valor de T100. Vamos ver como transformar essa relação em uma soma fechada.

Passo 2

Note que
T1 = 1,
T2 = T1 + 2 = 1 + 2,
T3 = T2 + 3 = 1 + 2 + 3,
e assim por diante. Logo, de forma geral,
Tn = 1 + 2 + 3 + cdots + n = sumk=1^n k

Passo 3

A soma dos n primeiros naturais é dada pela fórmula da progressão aritmética:
sumk=1^n k = n,(a1 + an)2,
onde a1 = 1 e an = n. Portanto,
Tn = n,(1 + n)2 = n(n+1)2

Passo 4

Basta agora substituir n=100 em tfracn(n+1)2:
T100 = 100 cdot 1012 = 50 cdot 101 = 5050

Resposta

5050

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