(AFA-98) Um círculo com área
possui uma corda de 16 cm . Qual a área, em
, do maior círculo tangente a essa corda e a esse círculo em pontos distintos?
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá um círculo de área
, logo o raio do círculo maior é tal que
ou seja,
Temos também uma corda de comprimento
cm, e queremos achar a área do maior círculo que seja tangente a essa corda e à circunferência maior em pontos distintos.
Passo 2
Calculemos a distância
do centro do círculo maior à corda. Se a corda mede
, então metade da corda vale
, e
Passo 3
Para facilitar, coloque o centro do círculo maior em
e a corda como a reta horizontal
. Seja
o centro do círculo menor de raio
. Temos duas condições de tangência:
-
Tangência ao corda (reta
):
a distância vertical deaté deve ser , isto é -
Tangência interna ao círculo de raio
:
a distância dea deve ser , ou seja
Passo 4
Precisamos do maior círculo, que ficará na região “inferior” em relação à corda (maior setor). Nesse caso
fica abaixo da reta
e tipicamente fica com coordenada
. Portanto:
- Da tangência ao corda:
implica , logo - Da tangência ao círculo maior:
implica , logo
Passo 5
Igualando as duas expressões para
:
Resposta
A área do maior círculo é
Alternativa (c).