(AFA-98) Um círculo com área 100 \pi \mathrm{~cm}^{2} possui uma corda de 16 cm . Qual a área, em \mathrm{cm}^{2}, do maior círculo tangente a essa corda e a esse círculo em pontos distintos?
a) 36 \pi
b) 49 \pi
c) 64 \pi

Passo 1

O enunciado dá um círculo de área 100\pi, logo o raio do círculo maior é tal que
\pi R^2 = 100\pi
ou seja,
R = 10\text{ cm}.
Temos também uma corda de comprimento 16 cm, e queremos achar a área do maior círculo que seja tangente a essa corda e à circunferência maior em pontos distintos.

Passo 2

Calculemos a distância d do centro do círculo maior à corda. Se a corda mede 16, então metade da corda vale 8, e
d = \sqrt{R^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\text{ cm}.

Passo 3

Para facilitar, coloque o centro do círculo maior em O=(0,0) e a corda como a reta horizontal y=6. Seja C=(0,y) o centro do círculo menor de raio r. Temos duas condições de tangência:
  1. Tangência ao corda (reta y=6):
    a distância vertical de C até y=6 deve ser r, isto é
    |y - 6| = r.
  2. Tangência interna ao círculo de raio R=10:
    a distância de O a C deve ser R - r, ou seja
    |y| = 10 - r.

Passo 4

Precisamos do maior círculo, que ficará na região “inferior” em relação à corda (maior setor). Nesse caso C fica abaixo da reta y=6 e tipicamente fica com coordenada y<0. Portanto:
  • Da tangência ao corda: y<6 implica y - 6 = -\,r, logo y = 6 - r.
  • Da tangência ao círculo maior: y<0 implica |y|=-y, logo -\,y = 10 - r \quad\Longrightarrow\quad y = r - 10.

Passo 5

Igualando as duas expressões para y:
6 - r = r - 10 \quad\Longrightarrow\quad 2r = 16 \quad\Longrightarrow\quad r = 8\text{ cm}.

Resposta

A área do maior círculo é
\pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi.
Alternativa (c).

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