(AFA-00) Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de
estão em progressão aritmética. Se
, entāo o valor de
é
a) 7
b) 13
c) 15
d) 27
Solução: Alternativa C
O termo geral do desenvolvimento de
é
. Deste modo, os coeficientes do quinto, sexto e sétimos termos são
e
, respectivamente. Portanto, para estes terınos estarem em progressão aritmética:
ou
Desde que
, a única solução é
.
a) 7
b) 13
c) 15
d) 27
Passo 1
O enunciado pede que os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de
formem uma progressão aritmética, com
. Precisamos achar
e então calcular
. Usaremos propriedades de coeficientes binomiais.
Passo 2
No binômio de Newton, o
-ésimo termo é
. Logo, o quinto termo (em potência) tem
, o sexto
e o sétimo
. Seus coeficientes são:
Passo 3
Para que esses três números estejam em progressão aritmética, vale
Passo 4
Usamos as relações
e substituímos em
. Cancelando
, obtemos
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Expandindo e recolhendo termos:
As raízes são
e
. Como
, temos
.
Passo 6
Finalmente, substituímos
em
:
Resposta
15