(AFA-00) Os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de (1+x)^{\prime \prime} estão em progressão aritmética. Se n \leq 13, entāo o valor de 2 n \div 1 é
a) 7
b) 13
c) 15
d) 27

Solução: Alternativa C

O termo geral do desenvolvimento de (1+x)^{n} é T_{p+1}=\binom{n}{p} x^{p}. Deste modo, os coeficientes do quinto, sexto e sétimos termos são \binom{n}{4},\binom{n}{5} e \binom{n}{6}, respectivamente. Portanto, para estes terınos estarem em progressão aritmética: 2\binom{n}{5}=\binom{n}{4}+\binom{n}{6} \Rightarrow 2 \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{120}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{720} \Rightarrow 12(n-4)=30+(n-4)(n-5) \Rightarrow 12 n-48=30+n^{2}-9 n+20 \Rightarrow n^{2}-2 \ln +98=0 \Rightarrow(n-7)(n-14)=0 \Rightarrow n=7 ou n=14 Desde que n \leq 13, a única solução é n=7 \Rightarrow 2 n+1=15.

Passo 1

O enunciado pede que os coeficientes do quinto, sexto e sétimo termos do desenvolvimento de (1+x)^n formem uma progressão aritmética, com n\le13. Precisamos achar n e então calcular 2n+1. Usaremos propriedades de coeficientes binomiais.

Passo 2

No binômio de Newton, o (p+1)-ésimo termo é \binom{n}{p}x^p. Logo, o quinto termo (em potência) tem p=4, o sexto p=5 e o sétimo p=6. Seus coeficientes são:
\binom{n}{4},\quad \binom{n}{5},\quad \binom{n}{6}.

Passo 3

Para que esses três números estejam em progressão aritmética, vale
2\binom{n}{5} = \binom{n}{4} + \binom{n}{6}.

Passo 4

Usamos as relações
\binom{n}{4} = \binom{n}{5}\,\frac{5}{n-4}, \quad \binom{n}{6} = \binom{n}{5}\,\frac{n-5}{6},
e substituímos em 2\binom{n}{5} = \binom{n}{4} + \binom{n}{6}. Cancelando \binom{n}{5}\neq0, obtemos
2 = \frac{5}{n-4} + \frac{n-5}{6}.
Multiplicando ambos os lados por 6(n-4):
12(n-4) = 30 + (n-4)(n-5).

Passo 5

Expandindo e recolhendo termos:
12n - 48 = 30 + n^2 - 9n + 20 \quad\Longrightarrow\quad n^2 - 21n + 98 = 0.
As raízes são n=7 e n=14. Como n\le13, temos n=7.

Passo 6

Finalmente, substituímos n=7 em 2n+1:
2n + 1 = 2\cdot7 + 1 = 15.

Resposta

15

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