(AFA-94) O determinante associado à matriz M=\left[\begin{array}{cccc}a & a & a & a \\\ a & x & x & x \\\ a & x & y & y \\\ a & x & y & 1\end{array}\right] é igual a:
a) a(x-a)(y-x)^{2}
b) a(x-a)^{2}(1-y)
c) a(1-x)(1-y)(x-a)
d) a(x-a)(y-x)(1-y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
M = \begin{pmatrix} a & a & a & a\\\ a & x & x & x\\\ a & x & y & y\\\ a & x & y & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo é cálculo de determinante por operações elementares (subtração de linhas) e expansão por cofatores.

Passo 2

Subtraímos a primeira linha das três últimas para criar zeros na primeira coluna:
\begin{pmatrix} a & a & a & a\\\\ 0 & x-a & x-a & x-a\\\\ 0 & x-a & y-a & y-a\\\\ 0 & x-a & y-a & 1-a \end{pmatrix}.
Expandindo esse determinante pela primeira coluna, temos
\det M = a \,\det \begin{pmatrix} x-a & x-a & x-a\\\ x-a & y-a & y-a\\\ x-a & y-a & 1-a \end{pmatrix}.

Passo 3

Na matriz 3\times 3, fatoramos (x-a) da primeira coluna:
\det M = a\,(x-a)\,\det \begin{pmatrix} 1 & x-a & x-a\\\\ 1 & y-a & y-a\\\\ 1 & y-a & 1-a \end{pmatrix}.
Chamando essa última matriz de B, vamos calcular \det B.

Passo 4

Subtraímos a primeira linha de cada uma das outras em B, obtendo linhas
(0,\;y-x,\;y-x) e (0,\;y-x,\;1-x). Expandindo \det B pela primeira coluna resulta
\det B = \begin{vmatrix} y-x & y-x\\\ y-x & 1-x \end{vmatrix} = (y-x)\bigl((1-x)-(y-x)\bigr) = (y-x)(1-y).
Assim
\det M = a\,(x-a)\,(y-x)\,(1-y).

Resposta

d) a(x - a)(y - x)(1 - y).
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