(AFA-98) Dois vértices de um triângulo eqüilátero pertencem a dois lados de um quadrado cuja área é
. Se o terceiro vértice do triângulo coincide com um dos vértices do quadrado, então, a área do triângulo,
, é
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado diz que temos um quadrado de área
, logo seu lado mede
. Precisamos colocar um triângulo equilátero de tal forma que um vértice coincida com um vértice do quadrado e os outros dois vértices fiquem em dois lados do quadrado. O conteúdo é geometria analítica e propriedades de triângulo equilátero (lados iguais e área
).
Passo 2
Denotemos o quadrado por
com
Escolhemos o vértice do triângulo em
e os outros dois vértices em
sobre
e
sobre
. Assim
As distâncias ao vértice
são
E a distância entre
e
é
Para ser equilátero, impomos
Da igualdade
já vem
, trivial. Da igualdade
obtemos
Passo 3
A equação
tem raízes
Como
deve ficar em
, escolhemos
Passo 4
O lado do triângulo é
A área do triângulo equilátero vale