(AFA-98) Dois vértices de um triângulo eqüilátero pertencem a dois lados de um quadrado cuja área é 1 \mathrm{~m}^{2}. Se o terceiro vértice do triângulo coincide com um dos vértices do quadrado, então, a área do triângulo, \mathrm{em} \mathrm{m}^{2}, é
a) 2 \sqrt{3}-1
b) 2 \sqrt{3}+1
c) -3+2 \sqrt{3}
d) 3+2 \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado diz que temos um quadrado de área 1, logo seu lado mede 1. Precisamos colocar um triângulo equilátero de tal forma que um vértice coincida com um vértice do quadrado e os outros dois vértices fiquem em dois lados do quadrado. O conteúdo é geometria analítica e propriedades de triângulo equilátero (lados iguais e área \tfrac{\sqrt3}{4}s^2).

Passo 2

Denotemos o quadrado por ABCD com
A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(1,1),\quad D=(0,1).
Escolhemos o vértice do triângulo em A e os outros dois vértices em P sobre BC e Q sobre CD. Assim
P=(1,t),\quad Q=(t,1),\quad t\in[0,1].
As distâncias ao vértice A são
AP^2 = (1-0)^2+(t-0)^2 = 1+t^2,
AQ^2 = (t-0)^2+(1-0)^2 = t^2+1.
E a distância entre P e Q é
PQ^2 = (1-t)^2+(t-1)^2 = 2(1-t)^2.
Para ser equilátero, impomos
AP^2 = AQ^2 = PQ^2.
Da igualdade AP^2=AQ^2 já vem 1+t^2 = t^2+1, trivial. Da igualdade AP^2=PQ^2 obtemos
1+t^2 = 2(1-t)^2 = 2(1-2t+t^2) \;\Longrightarrow\; t^2 - 4t +1 = 0.

Passo 3

A equação t^2-4t+1=0 tem raízes
t = \frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2} = 2\pm\sqrt3.
Como t deve ficar em [0,1], escolhemos
t = 2 - \sqrt3.

Passo 4

O lado do triângulo é
s = AP = \sqrt{1+t^2} = \sqrt{1+(2-\sqrt3)^2} = \sqrt{8-4\sqrt3} = 2\sqrt{2-\sqrt3}.
A área do triângulo equilátero vale
\frac{\sqrt3}{4}\,s^2 = \frac{\sqrt3}{4}\,(8-4\sqrt3) = \sqrt3\,(2-\sqrt3) = 2\sqrt3 - 3.

Resposta

-3 + 2\sqrt3 (alternativa c)

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