(Colégio Naval-2001/2002) Considere um quadrado ABCD e dois triângulos eqüiláteros A B P e BCQ, respectivamente, interno e externo ao quadrado. A soma das medidas dos ângulos ADP, BQP e DPQ é igual a:
a) 270^{\circ}
b) 300^{\circ}
c) 330^{\circ}
d) 360^{\circ}
e) 390^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá um quadrado ABCD e dois triângulos equiláteros ABP (interno ao quadrado) e BCQ (externo ao quadrado). Pede-se a soma dos ângulos \angle ADP, \angle BQP e \angle DPQ. Vamos usar coordenadas e produto escalar para calcular cada ângulo.

Passo 2

Escolhemos
A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(1,1),\quad D=(0,1).
Como AB=1 e o triângulo ABP é equilátero interno,
P=\Bigl(\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).
Como BC=1 e o triângulo BCQ é equilátero externo,
Q=\Bigl(1+\tfrac{\sqrt3}{2},\;\tfrac12\Bigr).

Passo 3

Cálculo de \angle ADP. No ponto D consideram-se os vetores
\overrightarrow{DA}=A-D=(0,-1), \quad \overrightarrow{DP}=P-D=\Bigl(\tfrac12,\;\tfrac{\sqrt3}{2}-1\Bigr).
O produto escalar é
(0,-1)\cdot\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}-1\Bigr) =1-\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}134.
Os módulos valem
\|\overrightarrow{DA}\|=1, \quad \|\overrightarrow{DP}\|=\sqrt{\tfrac14+\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}-1\bigr)^2}\approx0{,}5176.
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\cos\angle ADP =\frac{0{,}134}{1\cdot0{,}5176}\approx0{,}2588 \quad\Longrightarrow\quad \angle ADP\approx75^\circ.

Passo 4

Cálculo de \angle BQP. No ponto Q usamos
\overrightarrow{QB}=B-Q=\bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},-\,\tfrac12\bigr), \quad \overrightarrow{QP}=P-Q=\bigl(\tfrac12-(1+\tfrac{\sqrt3}{2}),\;\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac12\bigr) =\bigl(-1{,}366,\;0{,}366\bigr).
Temos \|\overrightarrow{QB}\|=1 (lado do equilátero BCQ) e
\|\overrightarrow{QP}\|\approx1{,}414. O produto escalar dá aproximadamente 1, de modo que
\cos\angle BQP\approx\frac{1}{1\cdot1{,}414}\approx0{,}707 \quad\Longrightarrow\quad \angle BQP\approx45^\circ.

Passo 5

Cálculo de \angle DPQ. No ponto P tomamos
\overrightarrow{PD}=D-P=\bigl(-\tfrac12,\;1-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr), \quad \overrightarrow{PQ}=Q-P=\bigl(1{,}366,\;-\,0{,}366\bigr).
Os módulos são \|\overrightarrow{PD}\|\approx0{,}5176 e \|\overrightarrow{PQ}\|\approx1{,}414, e o produto escalar dá aproximadamente -0{,}732. Assim
\cos\angle DPQ\approx\frac{-0{,}732}{0{,}5176\cdot1{,}414}=-1 \quad\Longrightarrow\quad \angle DPQ=180^\circ.

Passo 6

Somando os três ângulos:
75^\circ + 45^\circ + 180^\circ = 300^\circ.

Resposta

300^\circ (alternativa b)

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