(AFA-98) A quantidade de números naturais de 4 algarismos distintos, lormados por 1,2,3,4,5 e 6 , que contém o algarismo 3 ou o algarismo 4 é
a) 196
b) 286
c) 336
d) 446

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de números naturais de quatro algarismos distintos, formados pelos dígitos \{1,2,3,4,5,6\}, que contenham o algarismo 3 ou o algarismo 4. O conteúdo principal aqui é permutação sem repetição e uso do princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Contamos primeiro quantos números contêm o dígito 3. Para isso, fixamos o 3 e escolhemos mais três dígitos dentre os outros cinco \{1,2,4,5,6\}, o que dá
\binom{5}{3}
escolhas, e em seguida permutamos os quatro dígitos em 4! ordens. Logo,
N(\text{contém 3}) = \binom{5}{3}\times 4! = 10 \times 24 = 240.é

Passo 3

Por simetria, a quantidade de números que contêm o dígito 4 é a mesma:
N(\text{contém 4}) = \binom{5}{3}\times 4! = 240.é

Passo 4

Agora contamos quantos contêm ambos os dígitos 3 e 4. Fixamos 3 e 4 e escolhemos mais dois dígitos dentre os quatro restantes \{1,2,5,6\}, ou seja
\binom{4}{2}
escolhas, permutando depois em 4! arranjos. Assim,
N(\text{contém 3 e 4}) = \binom{4}{2}\times 4! = 6 \times 24 = 144.é

Passo 5

Pelo princípio da inclusão-exclusão, a quantidade que contém 3 ou 4 é
N(3\cup4)=N(3)+N(4)-N(3\cap4) =240+240-144=336.

Resposta

(c) 336

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