(UNB-02) Em uma videolocadora, considere que, em uma determinada ocasião. foram devolvidas 17 fitas VHS que estavam alugadas. Destas, 8 foram produzidas nos EUA, 4 são de origem curopcia c 5 são filmes nacionais. Essas fitas foram colocadas em uma prateleira que possuia 17 lugares vagos. Nessa situação. julgue os itens a seguir.
  1. Se todas as 17 fitas forem distintas, então o número de maneiras diferentes de organizá-las nessa prateleira será divisível por todos os números primos menores que 18.
  2. Se todas as fitas forem distintas, mantendo-se sempre os filmes europeus juntos, independentemente de sua ordenação, pode-se organizar as fitas na prateleira de 4!\times 13! maneiras distintas.
  3. O número de maneiras distintas de se organizar essas fitas, fazendo que as de mesma origem fiquem sempré juntas, é divisivel por 3^{j}.
  4. Considere que: das 8 fitas dos EUA, 6 sejam cópias do mesmo filme; das 5 brasileiras, 4 sejam cópias do mesmo filme; das 4 europeias, 2 sejam cópias do mesmo filme; todas as demais são distintas. Nesse caso, o número de maneiras diferentes em que pode ser organizada a prateleira é divisível por 2^{7} \times 3^{3} \times 5^{2} \times 7^{2}.

Solução: CECC

  1. CERTO. Como todos os 17 elementos são distintos, temos 17! possibilidades.
Uma vez que 17!=1.2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 .10 .11 .12 .13 .14 .15 .16 .17 e que us números primos menores que 18(2,3,5,7,11,13 e 17) pertencem ao produto de 17!, então todos os primos menores que 18 dividem 17 !.
2) ERRADO. De modo a manter os filmes europeus juntos, podemos montar o seguinte esquema ( E_{i}= filme europeu i, U_{i}= filme americano i e N_{i}= filme nacional i):
E_{1} E_{2} E_{3} E_{1} U_{1} U_{2} U_{3} U_{4} U_{5} U_{6} U_{7} U_{8} N_{1} N_{2} N_{3} N_{1} N_{5}
Desta forma, devemos permutar estes 14 elementos e depois permutar internamente os 4 filmes europeus, implicando que temos 14!.4 ! possibilidades.
3) CERTO. Mantendo as fitas de mesma origem juntas, podemos montar o esquema:
Deste modo, devemos permutar os 3 elementos acima e depois permutar internamente as litas de mesma origem. Temos, assim, 3!, 4!, 8!, 5! possibilidades. Como 3! é divisível por 3. 4! é divisivel por 3, 8! é divisivel por 3゚ e 5! é divisivel por 3 , entào 3!.4!.8!.5 ! é divisivel por 3^{5}.

Passo 1

O enunciado diz que temos 17 fitas, sendo 8 americanas, 4 europeias e 5 nacionais, e pede para julgar quatro afirmações sobre o número de maneiras de organizá-las na prateleira. Vamos usar:
– Permutação de n objetos distintos: n!.
– Agrupamento em bloco: trato o bloco como um objeto e depois permuto internamente.
– Permutação com repetições: \tfrac{n!}{n_{1}!\,n_{2}!\cdots}.
– Cálculo do expoente de um primo p em n! pela soma \sum_{k\ge1}\lfloor n/p^{k}\rfloor.

Passo 2

Item 1: todas as 17 fitas são distintas, logo o total de arranjos é
17!
e toda fatoração de 17! contém todos os primos menores que 18 ( 2,3,5,7,11,13,17). Portanto o item 1 é Certo.

Passo 3

Item 2: para manter as 4 europeias juntas, trato-as como um bloco mais as 13 demais fitas, totalizando 14 “objetos”. Depois permuto internamente as 4 europeias. O total é
14!\times 4!
e não 13!\times4!. Logo o item 2 é Errado.

Passo 4

Item 3: para manter juntas as fitas de mesma origem, tenho 3 blocos (americana, europeia, nacional) permutáveis entre si e permuto internamente cada bloco de tamanhos 8,4,5. O total é
3!\,\times 8!\,\times 4!\,\times 5!.
O expoente de 3 em cada fatorial é
v_{3}(3!)=1,\quad v_{3}(8!)=2,\quad v_{3}(4!)=1,\quad v_{3}(5!)=1,
totalizando 1+2+1+1=5. Logo o produto é divisível por 3^{5}, ou seja, é divisível por 3^{j}. Assim o item 3 é Certo.

Passo 5

Item 4: agora há repetições: 6 cópias idênticas das americanas, 4 idênticas das nacionais e 2 idênticas das europeias; as demais são distintas. O número de arranjos é
\frac{17!}{6!\,4!\,2!}.
Para cada primo p calculamos
v_{p}\bigl(\tfrac{17!}{6!\,4!\,2!}\bigr) = v_{p}(17!)-\bigl[v_{p}(6!)+v_{p}(4!)+v_{p}(2!)\bigr].
– Para p=2: v_{2}(17!)=15, v_{2}(6!)=4, v_{2}(4!)=3, v_{2}(2!)=1 \Rightarrow 15-8=7.
– Para p=3: v_{3}(17!)=6, v_{3}(6!)=2, v_{3}(4!)=1, v_{3}(2!)=0 \Rightarrow 6-3=3.
– Para p=5: v_{5}(17!)=3, v_{5}(6!)=1, os outros zero \Rightarrow 3-1=2.
– Para p=7: v_{7}(17!)=2, e nos divisores é zero \Rightarrow 2-0=2.
Portanto \tfrac{17!}{6!\,4!\,2!} é divisível por
2^{7}\times 3^{3}\times 5^{2}\times 7^{2},
logo o item 4 é Certo.

Resposta

1) Certo
2) Errado
3) Certo
4) Certo

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