(UNB-02) Em uma videolocadora, considere que, em uma determinada ocasião. foram devolvidas 17 fitas VHS que estavam alugadas. Destas, 8 foram produzidas nos EUA, 4 são de origem curopcia c 5 são filmes nacionais. Essas fitas foram colocadas em uma prateleira que possuia 17 lugares vagos. Nessa situação. julgue os itens a seguir.
- Se todas as 17 fitas forem distintas, então o número de maneiras diferentes de organizá-las nessa prateleira será divisível por todos os números primos menores que 18.
- Se todas as fitas forem distintas, mantendo-se sempre os filmes europeus juntos, independentemente de sua ordenação, pode-se organizar as fitas na prateleira de
13! maneiras distintas.
- O número de maneiras distintas de se organizar essas fitas, fazendo que as de mesma origem fiquem sempré juntas, é divisivel por
.
- Considere que: das 8 fitas dos EUA, 6 sejam cópias do mesmo filme; das 5 brasileiras, 4 sejam cópias do mesmo filme; das 4 europeias, 2 sejam cópias do mesmo filme; todas as demais são distintas. Nesse caso, o número de maneiras diferentes em que pode ser organizada a prateleira é divisível por
.
Solução: CECC
- CERTO. Como todos os 17 elementos são distintos, temos 17! possibilidades.
Uma vez que
e que us números primos menores que
e 17) pertencem ao produto de 17!, então todos os primos menores que 18 dividem 17 !.
2) ERRADO. De modo a manter os filmes europeus juntos, podemos montar o seguinte esquema (
filme europeu
filme americano i e
filme nacional i):
Desta forma, devemos permutar estes 14 elementos e depois permutar internamente os 4 filmes europeus, implicando que temos
! possibilidades.
3) CERTO. Mantendo as fitas de mesma origem juntas, podemos montar o esquema:
Deste modo, devemos permutar os 3 elementos acima e depois permutar internamente as litas de mesma origem. Temos, assim,
possibilidades. Como 3! é divisível por 3. 4! é divisivel por 3, 8! é divisivel por 3゚ e 5! é divisivel por 3 , entào
! é divisivel por
.
2) ERRADO. De modo a manter os filmes europeus juntos, podemos montar o seguinte esquema (
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3) CERTO. Mantendo as fitas de mesma origem juntas, podemos montar o esquema:
Passo 1
O enunciado diz que temos
fitas, sendo
americanas,
europeias e
nacionais, e pede para julgar quatro afirmações sobre o número de maneiras de organizá-las na prateleira. Vamos usar:
– Permutação de objetos distintos:
.
– Agrupamento em bloco: trato o bloco como um objeto e depois permuto internamente.
– Permutação com repetições: .
– Cálculo do expoente de um primo em
pela soma
.
– Permutação de
– Agrupamento em bloco: trato o bloco como um objeto e depois permuto internamente.
– Permutação com repetições:
– Cálculo do expoente de um primo
Passo 2
Item
: todas as
fitas são distintas, logo o total de arranjos é
e toda fatoração de
contém todos os primos menores que
(
). Portanto o item
é Certo.
Passo 3
Item
: para manter as
europeias juntas, trato-as como um bloco mais as
demais fitas, totalizando
“objetos”. Depois permuto internamente as
europeias. O total é
e não
. Logo o item
é Errado.
Passo 4
Item
: para manter juntas as fitas de mesma origem, tenho
blocos (americana, europeia, nacional) permutáveis entre si e permuto internamente cada bloco de tamanhos
. O total é
O expoente de
em cada fatorial é
totalizando
. Logo o produto é divisível por
, ou seja, é divisível por
. Assim o item
é Certo.
Passo 5
Item
: agora há repetições:
cópias idênticas das americanas,
idênticas das nacionais e
idênticas das europeias; as demais são distintas. O número de arranjos é
Para cada primo
calculamos
– Para
:
,
,
,
.
– Para :
,
,
,
.
– Para :
,
, os outros zero
.
– Para :
, e nos divisores é zero
.
Portanto é divisível por
– Para
– Para
– Para
Portanto
logo o item
é Certo.