(AFA-04) Sabendo-se que no desenvolvimento de (1+\mathrm{x})^{26} os coeficientes dos termos de ordem (2 r+1) e ( r+3 ) são iguais, pode-se afirmar que r é igual a
a) 8 ou 4
b) 8 ou 2
c) 4 ou 2

Passo 1

O enunciado fala do desenvolvimento binomial de (1+x)^{26}, cujo termo geral é
\binom{26}{k}x^k.
Queremos encontrar r tal que os coeficientes dos termos de ordem 2r+1 e r+3 sejam iguais, ou seja,
\binom{26}{2r+1} \;=\;\binom{26}{\,r+3\,}.

Passo 2

Uma maneira de ter igualdade de coeficientes em uma mesma linha de Pascal é ter os mesmos índices, isto é
2r+1 \;=\; r+3.
Resolvendo,
2r+1 = r+3 \quad\Longrightarrow\quad r = 2.

Passo 3

Verificamos se existe outra solução usando a propriedade de simetria
\binom{26}{k}=\binom{26}{26-k}.
Isto exigiria
2r+1 = 26 - (r+3) \quad\Longrightarrow\quad 3r + 4 = 26 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{22}{3},
que não é inteiro e portanto não vale para nosso problema.

Resposta

A única solução inteira é
r = 2.

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