7.1.3 A afirmação de que a integral de meia-volta ao redor de um ponto singular é igual à metade da integral de volta inteira estava limitada a pólos simples. Mostre, por um exemplo específico, que
\int_{\text {Semicírculo }} f(z) d z=\frac{1}{2} \oint_{\text {Círculo }} f(z) d zíí
não vale necessariamente se a integral circundar um pólo de ordem mais alta.
Sugestão: Experimente f(z)=z^{-2}.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, ao contrário do caso de pólos simples, para um pólo de ordem maior a integral ao redor de meio círculo não precisa ser metade da integral ao redor do círculo inteiro. Vamos usar como exemplo
f(z)=z^{-2},
que tem um pólo de segunda ordem em z=0.

Passo 2

Calculamos primeiro a integral sobre o círculo completo \{z:|z|=R\}. Parametrizando
z = R e^{i\theta},\quad dz = iR e^{i\theta}d\theta,\quad \theta\in[0,2\pi],
temos
\oint_{|z|=R}z^{-2}dz =\int_{0}^{2\pi}R^{-2}e^{-2i\theta}\,iR e^{i\theta}d\theta =iR^{-1}\int_{0}^{2\pi}e^{-i\theta}d\theta =0,
pois \int_{0}^{2\pi}e^{-i\theta}d\theta=0. Portanto a integral no círculo inteiro vale zero.

Passo 3

Agora fazemos a integral ao longo do semicírculo superior, que é a mesma parametrização com \theta\in[0,\pi]:
\int_{\text{Semicírculo}}z^{-2}dz =\int_{0}^{\pi}R^{-2}e^{-2i\theta}\,iR e^{i\theta}d\theta =iR^{-1}\int_{0}^{\pi}e^{-i\theta}d\theta.í
Como
\int_{0}^{\pi}e^{-i\theta}d\theta =\frac{e^{-i\theta}}{-i}\Big|_{0}^{\pi} =\frac{(-1)-1}{-i} =\frac{-2}{-i} =\frac{2}{i},
segue
\int_{\text{Semicírculo}}z^{-2}dz =iR^{-1}\cdot\frac{2}{i} =\frac{2}{R}\neq0.í

Passo 4

Comparando os resultados, vemos que
\int_{\text{Semicírculo}}z^{-2}dz=\frac{2}{R}, \quad \frac12\oint_{|z|=R}z^{-2}dz=\frac12\cdot0=0,í
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\int_{\text{Semicírculo}}f(z)dz\neq\frac12\oint_{\text{Círculo}}f(z)dz.íí

Resposta

Para f(z)=z^{-2} a integral no semicírculo é \tfrac{2}{R} enquanto metade da integral no círculo completo é 0. Portanto, a igualdade proposta falha para pólos de ordem maior.

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