7.1.3 A afirmação de que a integral de meia-volta ao redor de um ponto singular é igual à metade da integral de volta inteira estava limitada a pólos simples. Mostre, por um exemplo específico, que
não vale necessariamente se a integral circundar um pólo de ordem mais alta.
Sugestão: Experimente .
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, ao contrário do caso de pólos simples, para um pólo de ordem maior a integral ao redor de meio círculo não precisa ser metade da integral ao redor do círculo inteiro. Vamos usar como exemplo
que tem um pólo de segunda ordem em .
Passo 2
Calculamos primeiro a integral sobre o círculo completo . Parametrizando
temos
pois . Portanto a integral no círculo inteiro vale zero.
Passo 3
Agora fazemos a integral ao longo do semicírculo superior, que é a mesma parametrização com :
Como
segue
integralSemicírculoz^-2dz =iR^-1cdot2i =2Rneq0 í
Passo 4
Comparando os resultados, vemos que
integralSemicírculoz^-2dz=2R, 12oint|z|=Rz^-2dz=12cdot0=0, í
Para f(z)=z^-2 a integral no semicírculo é tfrac2R enquanto metade da integral no círculo completo é 0. Portanto, a igualdade proposta falha para pólos de ordem maior.
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 7.1 - Ex. 7.1.3