7.1.3 A afirmação de que a integral de meia-volta ao redor de um ponto singular é igual à metade da integral de volta inteira estava limitada a pólos simples. Mostre, por um exemplo específico, que
integral Semicírculo f(z) d z=12 oint Círculo f(z) d z íí
não vale necessariamente se a integral circundar um pólo de ordem mais alta.
Sugestão: Experimente f(z)=z^-2.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, ao contrário do caso de pólos simples, para um pólo de ordem maior a integral ao redor de meio círculo não precisa ser metade da integral ao redor do círculo inteiro. Vamos usar como exemplo
f(z)=z^-2,
que tem um pólo de segunda ordem em z=0.

Passo 2

Calculamos primeiro a integral sobre o círculo completo z:|z|=R. Parametrizando
z = R e^itheta, dz = iR e^ithetadtheta, thetain[0,2pi],
temos
oint|z|=Rz^-2dz =integral0^2piR^-2e^-2itheta,iR e^ithetadtheta =iR^-1integral0^2pie^-ithetadtheta =0,
pois integral0^2pie^-ithetadtheta=0. Portanto a integral no círculo inteiro vale zero.

Passo 3

Agora fazemos a integral ao longo do semicírculo superior, que é a mesma parametrização com thetain[0,pi]:
integralSemicírculoz^-2dz =integral0^piR^-2e^-2itheta,iR e^ithetadtheta =iR^-1integral0^pie^-ithetadtheta í
Como
integral0^pie^-ithetadtheta =e^-itheta-i|0^pi =(-1)-1-i =-2-i =2i,
segue
integralSemicírculoz^-2dz =iR^-1cdot2i =2Rneq0 í

Passo 4

Comparando os resultados, vemos que
integralSemicírculoz^-2dz=2R, 12oint|z|=Rz^-2dz=12cdot0=0, í
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integralSemicírculof(z)dzneq12ointCírculof(z)dz íí

Resposta

Para f(z)=z^-2 a integral no semicírculo é tfrac2R enquanto metade da integral no círculo completo é 0. Portanto, a igualdade proposta falha para pólos de ordem maior.

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