7.1.3 A afirmação de que a integral de meia-volta ao redor de um ponto singular é igual à metade da integral de volta inteira estava limitada a pólos simples. Mostre, por um exemplo específico, que
\int_{\text {Semicírculo }} f(z) d z=\frac{1}{2} \oint_{\text {Círculo }} f(z) d z
não vale necessariamente se a integral circundar um pólo de ordem mais alta.
Sugestão: Experimente f(z)=z^{-2}.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, ao contrário do caso de pólos simples, para um pólo de ordem maior a integral ao redor de meio círculo não precisa ser metade da integral ao redor do círculo inteiro. Vamos usar como exemplo
f(z)=z^{-2},
que tem um pólo de segunda ordem em z=0.
Passo 2
Calculamos primeiro a integral sobre o círculo completo \{z:|z|=R\}. Parametrizando
z = R e^{i\theta},\quad dz = iR e^{i\theta}d\theta,\quad \theta\in[0,2\pi],
Para f(z)=z^{-2} a integral no semicírculo é \tfrac{2}{R} enquanto metade da integral no círculo completo é 0. Portanto, a igualdade proposta falha para pólos de ordem maior.
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 7.1 - Ex. 7.1.3