A função degrau unitária é definida como (compare com o Exercício 1.15.13)
Mostre que
u(s) tem as representações integrais. Nota: O parâmetro
s é real.
u(s)=12+12 pi i P integral-infty^infty e^i x sx d x
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função degrau unitária
pode ser escrita na forma
Vamos usar a integral no sentido de Cauchy (valor principal) e a identidade
além de separar em parte real e imaginária.
Passo 2
Escrevemos
Note que
cos(x s)/x é função ímpar em
x , logo seu valor principal é zero, e
sin(x s)/x é par, então
Passo 3
Pelo resultado conhecido
segue
Passo 4
Substituindo em
ficamos com
Como para
e
para
, isso dá
quando
e
quando
, e
.