A função degrau unitária é definida como (compare com o Exercício 1.15.13)
u(s-a)= \begin{cases}0, & s<a \\\\ 1, & s>a\end{cases}
Mostre que u(s) tem as representações integrais. Nota: O parâmetro s é real.
u(s)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i x s}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função degrau unitária
u(s)=\begin{cases}0,&s<0,\\\ 1,&s>0\end{cases}
pode ser escrita na forma
u(s)=\frac12+\frac{1}{2\pi i}\,P\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i x s}}{x}\,dx.
Vamos usar a integral no sentido de Cauchy (valor principal) e a identidade
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x s)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}\,\sgn(s),
além de separar em parte real e imaginária.

Passo 2

Escrevemos
P\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i x s}}{x}\,dx =P\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos(x s)}{x}\,dx + i\,P\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin(x s)}{x}\,dx.
Note que \cos(x s)/x é função ímpar em x, logo seu valor principal é zero, e \sin(x s)/x é par, então
P\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i x s}}{x}\,dx =i\,2\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x s)}{x}\,dx.

Passo 3

Pelo resultado conhecido
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(x s)}{x}\,dx =\frac{\pi}{2}\,\sgn(s),
segue
P\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i x s}}{x}\,dx =i\,2\cdot\frac{\pi}{2}\,\sgn(s) =i\pi\,\sgn(s).

Passo 4

Substituindo em
u(s)=\frac12+\frac{1}{2\pi i}\,P\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i x s}}{x}\,dx
ficamos com
u(s)=\frac12+\frac{1}{2\pi i}\bigl(i\pi\,\sgn(s)\bigr) =\frac12+\frac12\,\sgn(s).
Como \sgn(s)=-1 para s<0 e +1 para s>0, isso dá u(s)=0 quando s<0 e u(s)=1 quando s>0, e u(0)=\tfrac12.

Resposta

u(s)=\frac12+\frac{1}{2\pi i}\,P\!\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i x s}}{x}\,dx.

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