A função degrau unitária é definida como (compare com o Exercício 1.15.13)
u(s-a)= 0, & s<a 1, & s>a
Mostre que u(s) tem as representações integrais. Nota: O parâmetro s é real.
u(s)=12+12 pi i P integral-infty^infty e^i x sx d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função degrau unitária
pode ser escrita na forma
Vamos usar a integral no sentido de Cauchy (valor principal) e a identidade
além de separar em parte real e imaginária.

Passo 2

Escrevemos
P!integral-infty^inftye^i x sx,dx =P!integral-infty^inftycos(x s)x,dx + i,P!integral-infty^inftysin(x s)x,dx
Note que cos(x s)/x é função ímpar em x, logo seu valor principal é zero, e sin(x s)/x é par, então
P!integral-infty^inftye^i x sx,dx =i,2integral0^inftysin(x s)x,dx

Passo 3

Pelo resultado conhecido
segue

Passo 4

Substituindo em
ficamos com
Como para e para , isso dá quando e quando , e .

Resposta

u(s)=12+12pi i,P!integral-infty^inftye^i x sx,dx

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