Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
\frac{z e^{+i z}}{z^{2}+a^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a natureza das singularidades da função
f(z)=\frac{z\,e^{i z}}{z^{2}+a^{2}}
e calcular os resíduos nesses pontos. Isso envolve identificar zeros do denominador, classificar o tipo de cada singularidade (polo simples, essencial etc.) e aplicar a fórmula de resíduo para polos simples.

Passo 2

As singularidades ocorrem onde o denominador se anula, isto é, em
z^{2}+a^{2}=0
que tem soluções
z=\pm i\,a.

Passo 3

Como e^{i z} e z são funções inteiras (analíticas em todo \mathbb{C}) e z^2+a^2 tem zeros simples em z=\pm i a (pois sua derivada 2z não se anula nesses pontos), concluímos que em z=\pm i a a função f tem dois polos simples.

Passo 4

Para um polo simples z_{0}, o resíduo de f(z)=\frac{g(z)}{h(z)} é dado por
\Res(f,z_{0})=\frac{g(z_{0})}{h'(z_{0})}.
Aqui g(z)=z\,e^{i z} e h(z)=z^{2}+a^{2}, logo
h'(z)=2z.

Passo 5

Aplicando a fórmula em cada polo:
Em z_{0}=i a:
\Res\bigl(f,i a\bigr) =\frac{g(i a)}{h'(i a)} =\frac{i a\,e^{i(i a)}}{2(i a)} =\frac{e^{-a}}{2}.
Em z_{0}=-i a:
\Res\bigl(f,-i a\bigr) =\frac{(-i a)\,e^{i(-i a)}}{2(-i a)} =\frac{e^{a}}{2}.

Resposta

As singularidades em z=\pm i a são polos simples, com resíduos
\Res\bigl(f,i a\bigr)=\frac{e^{-a}}{2}, \quad \Res\bigl(f,-i a\bigr)=\frac{e^{a}}{2}.

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