Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
z e^+i zz^2+a^2.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a natureza das singularidades da função
f(z)=z,e^i zz^2+a^2
e calcular os resíduos nesses pontos. Isso envolve identificar zeros do denominador, classificar o tipo de cada singularidade (polo simples, essencial etc.) e aplicar a fórmula de resíduo para polos simples.

Passo 2

As singularidades ocorrem onde o denominador se anula, isto é, em
z^2+a^2=0
que tem soluções
z=pm i,a

Passo 3

Como e^i z e z são funções inteiras (analíticas em todo C) e z^2+a^2 tem zeros simples em z=pm i a (pois sua derivada 2z não se anula nesses pontos), concluímos que em z=pm i a a função f tem dois polos simples.

Passo 4

Para um polo simples , o resíduo de é dado por
Aqui e , logo

Passo 5

Aplicando a fórmula em cada polo:
Em :
Em :

Resposta

As singularidades em são polos simples, com resíduos

Exercícios de Livros Relacionados