Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
\frac{e^{+i z}}{z^{2}-a^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(z)=\frac{e^{i z}}{z^{2}-a^{2}}
identificar a natureza das singularidades e calcular os resíduos. O conteúdo envolve classificação de singularidades (polos, essenciais, removíveis) e uso da fórmula do resíduo num polo simples
\Res(f,z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})\,f(z).

Passo 2

As singularidades ocorrem quando o denominador anula, ou seja, em z^{2}-a^{2}=0, isto é, em
z=a\quad\text{e}\quad z=-a.
Como e^{i z} é inteiro (analítico em todo \mathbb{C}) e z^{2}-a^{2} tem zeros simples em z=\pm a, cada uma dessas singularidades é um polo de primeira ordem (polo simples).

Passo 3

Para z_{0}=a, aplicamos
\Res(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)\frac{e^{i z}}{(z-a)(z+a)} =\lim_{z\to a}\frac{e^{i z}}{z+a} =\frac{e^{i a}}{2a}.

Passo 4

Para z_{0}=-a, aplicamos
\Res(f,-a)=\lim_{z\to -a}(z+ a)\frac{e^{i z}}{(z-a)(z+ a)} =\lim_{z\to -a}\frac{e^{i z}}{z-a} =\frac{e^{-i a}}{-2a} =-\frac{e^{-i a}}{2a}.

Resposta

As singularidades em z=a e z=-a são polos simples.
\Res(f,a)=\frac{e^{i a}}{2a}, \qquad \Res(f,-a)=-\frac{e^{-i a}}{2a}.

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