Mostre que (a>0) Como o lado direito será modificado se cos x for substituído por cos k x ? Essas integrais também podem ser interpretadas como transformadas de Fourier de co-seno e seno, Capítulo 15.
integral-infty^infty x sen xx^2+a^2 d x=pi e^-a. Como o lado direito será modificado se sen (x) for substituído por sen (k x) ?

Passo 1

O enunciado original afirma que, para a>0,
integral-infty^inftyxsin xx^2+a^2,dx=pi e^-a
Queremos agora generalizar esse resultado, substituindo sin x por sin(kx).
Isto é, definir
I(k)=integral-infty^inftyxsin(kx)x^2+a^2,dx
e encontrar uma expressão fechada para I(k).

Passo 2

Observamos a paridade do integrando. Como x é função ímpar e sin(kx) também é ímpar, o produto
xsin(kx)
é função par. Logo
I(k)=2integral0^inftyxsin(kx)x^2+a^2,dx

Passo 3

Usamos a integral conhecida (por exemplo, via transformada de Laplace ou contorno de Jordan): para a>0 e k>0
integral0^inftyxsin(kx)x^2+a^2,dx=pi2,e^-a k
Substituindo em I(k) obtém-se
I(k)=2cdotpi2,e^-a k=pi,e^-a k, k>0

Passo 4

Para valores gerais de kinR a paridade dá
I(k)=pi,e^-a|k|,sgn(k),
mas se assumirmos k>0 chega-se simplesmente a
I(k)=pi,e^-a k

Resposta

Para k>0,
integral-infty^inftyxsin(kx)x^2+a^2,dx=pi,e^-a k
Em notação geral,
integral-infty^inftyxsin(kx)x^2+a^2,dx=pi,e^-a|k|,sgn(k)

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