Mostre que (a>0) Como o lado direito será modificado se cos x for substituído por cos k x ? Essas integrais também podem ser interpretadas como transformadas de Fourier de co-seno e seno, Capítulo 15.
. Como o lado direito será modificado se sen (x) for substituído por sen (k x) ?
Passo 1
O enunciado original afirma que, para
,
Queremos agora generalizar esse resultado, substituindo
por
.
Isto é, definir
Isto é, definir
e encontrar uma expressão fechada para
.
Passo 2
Observamos a paridade do integrando. Como
é função ímpar e
também é ímpar, o produto
é função par. Logo
Passo 3
Usamos a integral conhecida (por exemplo, via transformada de Laplace ou contorno de Jordan): para
e
Substituindo em
obtém-se
Passo 4
Para valores gerais de
a paridade dá
mas se assumirmos
chega-se simplesmente a
Resposta
Para
,
Em notação geral,