Mostre que (a>0) Como o lado direito será modificado se cos x for substituído por cos k x ? Essas integrais também podem ser interpretadas como transformadas de Fourier de co-seno e seno, Capítulo 15.
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x \operatorname{sen} x}{x^{2}+a^{2}} d x=\pi e^{-a}. Como o lado direito será modificado se sen (x) for substituído por sen (k x) ?

Passo 1

O enunciado original afirma que, para a>0,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin x}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\pi e^{-a}.
Queremos agora generalizar esse resultado, substituindo \sin x por \sin(kx).
Isto é, definir
I(k)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(kx)}{x^{2}+a^{2}}\,dx
e encontrar uma expressão fechada para I(k).

Passo 2

Observamos a paridade do integrando. Como x é função ímpar e \sin(kx) também é ímpar, o produto
x\sin(kx)
é função par. Logo
I(k)=2\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin(kx)}{x^{2}+a^{2}}\,dx.

Passo 3

Usamos a integral conhecida (por exemplo, via transformada de Laplace ou contorno de Jordan): para a>0 e k>0
\int_{0}^{\infty}\frac{x\sin(kx)}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{\pi}{2}\,e^{-a k}.
Substituindo em I(k) obtém-se
I(k)=2\cdot\frac{\pi}{2}\,e^{-a k}=\pi\,e^{-a k},\quad k>0.

Passo 4

Para valores gerais de k\in\mathbb{R} a paridade dá
I(k)=\pi\,e^{-a|k|}\,\mathrm{sgn}(k),
mas se assumirmos k>0 chega-se simplesmente a
I(k)=\pi\,e^{-a k}.

Resposta

Para k>0,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(kx)}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\pi\,e^{-a k}.
Em notação geral,
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x\sin(kx)}{x^{2}+a^{2}}\,dx=\pi\,e^{-a|k|}\,\mathrm{sgn}(k).

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