- Se o algarismo 1 aparecer 211 vezes na numeração das páginas sucessivas de um livro, quantas páginas terá o mesmo?
Passo 1
O enunciado pergunta quantas páginas tem um livro se, ao numerá-las de
até
, o dígito
aparece exatamente
vezes. O conteúdo envolve contagem de ocorrências de um dígito na escrita decimal dos números de
a
. Vamos usar o método posicional, contando separadamente as contribuições de cada casa decimal.
Passo 2
Contagem de ocorrências de
nos números de
a
: só aparece o número
em si, logo há
Passo 3
Agora nos números de
a
.
– Casa das dezenas: ocorre quando o número está entre e
, ou seja,
vezes.
– Casa das unidades: em cada dezena (de –
,
–
, ···,
–
) aparece exatamente uma vez o dígito
na unidade, totalizando
ocorrências.
Portanto, de a
aparecem
– Casa das dezenas: ocorre quando o número está entre
– Casa das unidades: em cada dezena (de
Portanto, de
uns. Assim,
Passo 4
Nos números de
a
podemos agrupar em blocos de cem:
– De a
: na casa das centenas o dígito
aparece
vezes, e nas dezena
nidades a contagem é igual a
. Total nesse bloco:
.
– De a
,
a
e
a
: o dígito das centenas não é
, e nas dezena
nidades cada bloco traz
ocorrências.
Logo,
– De
– De
Logo,
Passo 5
Para chegar a
ocorrências, faltam
uns nas páginas de
até
. Note que, nesses números de
a
, o dígito das centenas é
, portanto só contribuímos com as casas das dezenas e unidades.
Passo 6
Se
(onde
é a dezena e
a unidade), então de
a
:
– Ocorrências na casa das dezenas:
– Ocorrências na casa das dezenas:
- Se
não há . - Se
ocorrem vezes (de a ). - Se
ocorrem todas as vezes (de a ).
– Ocorrências na casa das unidades:
há uma unidadea cada dezena completa, mais uma extra se . Logo são
Somando dezena
nidades, queremos
. Testando
:
Para
isso dá
.
Não há solução para ou
.
Não há solução para
Passo 7
Encontramos
e
, ou seja,
. Assim, de
a
adicionam exatamente
ocorrências de
, elevando
para
.