1. Se o algarismo 1 aparecer 211 vezes na numeração das páginas sucessivas de um livro, quantas páginas terá o mesmo?

Passo 1

O enunciado pergunta quantas páginas tem um livro se, ao numerá-las de 1 até N, o dígito 1 aparece exatamente 211 vezes. O conteúdo envolve contagem de ocorrências de um dígito na escrita decimal dos números de 1 a N. Vamos usar o método posicional, contando separadamente as contribuições de cada casa decimal.

Passo 2

Contagem de ocorrências de 1 nos números de 1 a 9: só aparece o número 1 em si, logo há
f(9)=1

Passo 3

Agora nos números de 10 a 99.
– Casa das dezenas: ocorre quando o número está entre 10 e 19, ou seja, 10 vezes.
– Casa das unidades: em cada dezena (de 10 19, 20 29, ···, 90 99) aparece exatamente uma vez o dígito 1 na unidade, totalizando 9 ocorrências.
Portanto, de 10 a 99 aparecem
10 + 9 = 19
uns. Assim,
f(99)=f(9)+19=1+19=20

Passo 4

Nos números de 100 a 499 podemos agrupar em blocos de cem:
– De 100 a 199: na casa das centenas o dígito 1 aparece 100 vezes, e nas dezena s+unidades a contagem é igual a f(99)=20. Total nesse bloco: 120.
– De 200 a 299, 300 a 399 e 400 a 499: o dígito das centenas não é 1, e nas dezena s+unidades cada bloco traz 20 ocorrências.
Logo,
f(499)=f(99) + 120 + 3cdot 20 = 20 + 120 + 60 = 200

Passo 5

Para chegar a 211 ocorrências, faltam 11 uns nas páginas de 500 até N. Note que, nesses números de 500 a 599, o dígito das centenas é 5, portanto só contribuímos com as casas das dezenas e unidades.

Passo 6

Se N=5ab (onde a é a dezena e b a unidade), então de 500 a 5ab:
– Ocorrências na casa das dezenas:
  • Se a=0 não há ,1.
  • Se a=1 ocorrem b+1 vezes (de 510 a 51b).
  • Se a>=2 ocorrem todas as 10 vezes (de 510 a 519).
    – Ocorrências na casa das unidades:
    há uma unidade 1 a cada dezena completa, mais uma extra se b>=1. Logo são
a + l(b>=1 ? 1 : 0r)
Somando dezena s+unidades, queremos 11. Testando a=1:
dezenas=b+1, unidades=1+l(b>=1 ?1:0r)
Para b>=1 isso dá (b+1)+(1+1)=b+3=11implies b=8.
Não há solução para a=0 ou a>=2.

Passo 7

Encontramos a=1 e b=8, ou seja, N=518. Assim, de 500 a 518 adicionam exatamente 11 ocorrências de 1, elevando f(499)=200 para f(518)=211.

Resposta

518 páginas.

Exercícios de Livros Relacionados