CN - Um aluno calculou a média aritmética entre os cem primeiros inteiros positivos, encontrando 50 12. Retirando um desses números encontrou como nova média 50 2799. O número retirado está entre:
a) 30 e 40
b) 40 e 50
c) 50 e 60
d) 60 e 70
e) 70 e 80

Passo 1

O enunciado diz que temos os cem primeiros inteiros positivos 1,2,dots,100 cuja média aritmética é 50tfrac12, e que ao retirar um número x dessa lista a nova média sobre os 99 valores passa a ser 50tfrac2799. O conteúdo é média aritmética e precisaremos usar soma de termos e equação para achar x.

Passo 2

Calculamos a soma dos cem primeiros inteiros usando a fórmula da soma de uma progressão aritmética:
S = 1 + 2 + cdots + 100 = 100cdot1012 = 5050

Passo 3

Após retirar o número x, a soma passa a ser 5050 - x e o número de termos é 99. A nova média é
5050 - x99 = 50 + 2799
No lado direito escrevemos
50 + 2799 = 50cdot99 + 2799 = 497799

Passo 4

Igualando numerador e denominador, obtemos
5050 - x = 4977 Longrightarrow x = 5050 - 4977 = 73

Passo 5

O valor x=73 pertence ao intervalo entre 70 e 80, correspondendo à alternativa (e).

Resposta

e) 70 e 80

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