9.5.12 Uma análise baseada na Mecânica Quântica do efeito de Stark (coordenadas parabólicas) leva à equação diferencial
\frac{d}{d \xi}\left(\xi \frac{d u}{d \xi}\right)+\left(\frac{1}{2} E \xi+\alpha-\frac{m^{2}}{4 \xi}-\frac{1}{4} F \xi^{2}\right) u=0
Aqui, \alpha é uma constante de separação, E é a energia total e F é uma constante, em que F z é a energia potencial acrescentada ao sistema pela introdução de um campo elétrico. Usando a maior raiz da equação indicial, desenvolva uma solução de série de potências em torno de \xi=0. Avalie os três primeiros coeficientes em termos de a_{o}.
\begin{gathered} \text { Equação indicial } \quad k^{2}-\frac{m^{2}}{4}=0, \\\ u(\xi)=a_{0} \xi^{m / 2}\left\{1-\frac{\alpha}{m+1} \xi+\left[\frac{\alpha^{2}}{2(m+1)(m+2)}-\frac{E}{4(m+2)}\right] \xi^{2}+\cdots\right\} . \end{gathered}çã
Note que a perturbação F não aparece até a inclusão de a_{3}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{d}{d \xi}\bigl(\xi\,\frac{du}{d\xi}\bigr) +\Bigl(\tfrac12E\,\xi+\alpha-\tfrac{m^2}{4\xi}-\tfrac14F\,\xi^2\Bigr)u=0
e pede uma solução em série de potências ao redor de \xi=0 pelo método de Frobenius, usando a maior raiz da equação indicial. Vamos assumir
u(\xi)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,\xi^{n+k},
achar a equação indicial para k, depois obter a relação de recorrência e calcular a_1 e a_2 em função de a_0.

Passo 2

Primeiro, montamos o indicial: escrevendo o termo de menor potência de \xi na série, só sobra
a_0\bigl[k^2-\tfrac{m^2}{4}\bigr]\;\xi^{k-1}=0,
logo a equação indicial é
k^2-\frac{m^2}{4}=0,
cuja maior raiz é
k=\frac{m}{2}.

Passo 3

Para qualquer n\ge0 a recorrência vem de igualar a zero o coeficiente de \xi^{n+k-1}. Um cálculo padrão leva a
(n+k)^2-\frac{m^2}{4}=n(n+m),
e a relação completa é
a_n\,n(n+m) +\alpha\,a_{n-1} +\frac{E}{2}\,a_{n-2} -\frac{F}{4}\,a_{n-3} =0,
com a_{-1}=a_{-2}=a_{-3}=0. Isolando a_n,
a_n =-\frac{1}{n(n+m)}\Bigl[ \alpha\,a_{n-1} +\tfrac{E}{2}\,a_{n-2} -\tfrac{F}{4}\,a_{n-3} \Bigr].

Passo 4

Para n=1 temos
1(1+m)\,a_1+\alpha\,a_0=0 \quad\Longrightarrow\quad a_1=-\frac{\alpha}{m+1}\,a_0.

Passo 5

Para n=2 vem
2(2+m)\,a_2+\alpha\,a_1+\frac{E}{2}\,a_0=0.
Substituindo a_1=-(\alpha/(m+1))a_0,
2(m+2)\,a_2 -\frac{\alpha^2}{m+1}\,a_0 +\frac{E}{2}\,a_0 =0 \;\Longrightarrow\; a_2 =\Bigl[\frac{\alpha^2}{2(m+1)(m+2)} -\frac{E}{4(m+2)}\Bigr]a_0.

Resposta

Os três primeiros coeficientes da expansão u(\xi)=\sum a_n\,\xi^{n+m/2} são
a_0,\qquad a_1=-\frac{\alpha}{m+1}\,a_0, \qquad a_2=\Bigl[\frac{\alpha^2}{2(m+1)(m+2)}-\frac{E}{4(m+2)}\Bigr]a_0.

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