9.5.12 Uma análise baseada na Mecânica Quântica do efeito de Stark (coordenadas parabólicas) leva à equação diferencial
dd xi(xi d ud xi)+(12 E xi+alpha-m^24 xi-14 F xi^2) u=0
Aqui, alpha é uma constante de separação, E é a energia total e F é uma constante, em que F z é a energia potencial acrescentada ao sistema pela introdução de um campo elétrico. Usando a maior raiz da equação indicial, desenvolva uma solução de série de potências em torno de xi=0. Avalie os três primeiros coeficientes em termos de ao.
Equação indicial k^2-m^24=0, u(xi)=a0 xi^m / 21-alpham+1 xi+[alpha^22(m+1)(m+2)-E4(m+2)] xi^2+cdots çã
Note que a perturbação F não aparece até a inclusão de a3.

Passo 1

O enunciado dá a equação
dd xil(xi,dudxir) +l(tfrac12E,xi+alpha-tfracm^24xi-tfrac14F,xi^2r)u=0
e pede uma solução em série de potências ao redor de xi=0 pelo método de Frobenius, usando a maior raiz da equação indicial. Vamos assumir
u(xi)=sumn=0^inftyan,xi^n+k,
achar a equação indicial para k, depois obter a relação de recorrência e calcular a1 e a2 em função de a0.

Passo 2

Primeiro, montamos o indicial: escrevendo o termo de menor potência de xi na série, só sobra
a0l[k^2-tfracm^24r];xi^k-1=0,
logo a equação indicial é
k^2-m^24=0,
cuja maior raiz é
k=m2

Passo 3

Para qualquer n>=0 a recorrência vem de igualar a zero o coeficiente de xi^n+k-1. Um cálculo padrão leva a
(n+k)^2-m^24=n(n+m),
e a relação completa é
an,n(n+m) +alpha,an-1 +E2,an-2 -F4,an-3 =0,
com a-1=a-2=a-3=0. Isolando an,
an =-1n(n+m)l[ alpha,an-1 +tfracE2,an-2 -tfracF4,an-3 r]

Passo 4

Para n=1 temos
1(1+m),a1+alpha,a0=0 Longrightarrow a1=-alpham+1,a0

Passo 5

Para n=2 vem
2(2+m),a2+alpha,a1+E2,a0=0
Substituindo a1=-(alpha/(m+1))a0,
2(m+2),a2 -alpha^2m+1,a0 +E2,a0 =0 ;Longrightarrow; a2 =l[alpha^22(m+1)(m+2) -E4(m+2)r]a0

Resposta

Os três primeiros coeficientes da expansão u(xi)=sum an,xi^n+m/2 são
a0, a1=-alpham+1,a0, a2=l[alpha^22(m+1)(m+2)-E4(m+2)r]a0

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