9.5.12 Uma análise baseada na Mecânica Quântica do efeito de Stark (coordenadas parabólicas) leva à equação diferencial
Aqui,
é uma constante de separação,
é a energia total e
é uma constante, em que
é a energia potencial acrescentada ao sistema pela introdução de um campo elétrico. Usando a maior raiz da equação indicial, desenvolva uma solução de série de potências em torno de
. Avalie os três primeiros coeficientes em termos de
.
Note que a perturbação
não aparece até a inclusão de
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede uma solução em série de potências ao redor de
pelo método de Frobenius, usando a maior raiz da equação indicial. Vamos assumir
achar a equação indicial para
, depois obter a relação de recorrência e calcular
e
em função de
.
Passo 2
Primeiro, montamos o indicial: escrevendo o termo de menor potência de
na série, só sobra
logo a equação indicial é
cuja maior raiz é
Passo 3
Para qualquer
a recorrência vem de igualar a zero o coeficiente de
. Um cálculo padrão leva a
e a relação completa é
com
. Isolando
,
Passo 4
Para
temos
Passo 5
Para
vem
Substituindo
,
Resposta
Os três primeiros coeficientes da expansão
são