9.5.1 Teorema da unicidade. A função
satisfaz uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Em
e
. Mostre que
é única e que nenhuma outra solução dessa equação diferencial passa pelos pontos (
) com uma inclinação de
. Sugestão: Admita que uma segunda solução satisfaça essas condições e compare com as expansões da série de Taylor.
Passo 1
O enunciado afirma que uma função
satisfaz uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, digamos
com condições iniciais
Queremos mostrar que não existe outra solução que passe por
com inclinação
. Para isso, vamos assumir duas soluções possíveis e comparar suas séries de Taylor centradas em
.
Passo 2
Suponha que
e
sejam duas soluções da equação, ambas satisfazendo
Definimos então
Como ambas satisfazem a mesma ODE linear homogênea,
satisfaz
e pelas condições iniciais
Passo 3
Pela hipótese de coeficientes
e
analíticos em torno de
,
também pode ser expandida em série de Taylor:
As condições iniciais dão imediatamente
Passo 4
Avalie a ODE para
em
:
Mas
logo
Passo 5
Agora diferenciamos a equação
um total de
vezes e avaliamos em
. Em cada etapa obtemos uma relação da forma
Por hipótese de indução, todos os
para
, de modo que
Isso vale para todo
.
Passo 6
Como todos os coeficientes
da série de Taylor de
são nulos, segue que
numa vizinhança de
. Portanto
ali, e não há outra solução diferente que satisfaça as mesmas condições iniciais.
Resposta
A solução é única: não existe outra função solução que passe por
com inclinação
.