9.5.1 Teorema da unicidade. A função y(x) satisfaz uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Em x=x_{0}, y(x)=y_{0} e d y / d x=y_{0}^{\prime}. Mostre que y(x) é única e que nenhuma outra solução dessa equação diferencial passa pelos pontos ( x_{0}, y_{0} ) com uma inclinação de y_{0}^{\prime}. Sugestão: Admita que uma segunda solução satisfaça essas condições e compare com as expansões da série de Taylor.

Passo 1

O enunciado afirma que uma função y(x) satisfaz uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, digamos
y''(x) + p(x)\,y'(x) + q(x)\,y(x) = 0,
com condições iniciais
y(x_0)=y_0,\quad y'(x_0)=y'_0.
Queremos mostrar que não existe outra solução que passe por \bigl(x_0,y_0\bigr) com inclinação y'_0. Para isso, vamos assumir duas soluções possíveis e comparar suas séries de Taylor centradas em x_0.

Passo 2

Suponha que y_1(x) e y_2(x) sejam duas soluções da equação, ambas satisfazendo
y_1(x_0)=y_2(x_0)=y_0, \qquad y_1'(x_0)=y_2'(x_0)=y'_0.
Definimos então
u(x) = y_1(x) - y_2(x).
Como ambas satisfazem a mesma ODE linear homogênea, u(x) satisfaz
u'' + p(x)\,u' + q(x)\,u = 0
e pelas condições iniciais
u(x_0)=0,\quad u'(x_0)=0.

Passo 3

Pela hipótese de coeficientes p(x) e q(x) analíticos em torno de x_0, u(x) também pode ser expandida em série de Taylor:
u(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n\,(x - x_0)^n.
As condições iniciais dão imediatamente
a_0 = u(x_0)=0, \qquad a_1 = u'(x_0)=0.

Passo 4

Avalie a ODE para u em x=x_0:
u''(x_0) + p(x_0)\,u'(x_0) + q(x_0)\,u(x_0) = 0 \;\Longrightarrow\; u''(x_0)=0.
Mas
u''(x_0) = 2a_2,
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a_2 = 0.

Passo 5

Agora diferenciamos a equação
u'' + p(x)\,u' + q(x)\,u = 0
um total de n-2 vezes e avaliamos em x_0. Em cada etapa obtemos uma relação da forma
u^{(n)}(x_0) + [\text{combinação de }u^{(k)}(x_0),\;k<n] = 0.çã
Por hipótese de indução, todos os u^{(k)}(x_0)=0 para k<n, de modo que
u^{(n)}(x_0)=0 \quad\Longrightarrow\quad a_n = \frac{u^{(n)}(x_0)}{n!} = 0.
Isso vale para todo n\ge0.

Passo 6

Como todos os coeficientes a_n da série de Taylor de u(x) são nulos, segue que
u(x)\equiv0
numa vizinhança de x_0. Portanto y_1(x)=y_2(x) ali, e não há outra solução diferente que satisfaça as mesmas condições iniciais.

Resposta

A solução é única: não existe outra função solução que passe por (x_0,y_0) com inclinação y'_0.

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