9.5.1 Teorema da unicidade. A função y(x) satisfaz uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Em x=x0, y(x)=y0 e d y / d x=y0^prime. Mostre que y(x) é única e que nenhuma outra solução dessa equação diferencial passa pelos pontos ( x0, y0 ) com uma inclinação de y0^prime. Sugestão: Admita que uma segunda solução satisfaça essas condições e compare com as expansões da série de Taylor.

Passo 1

O enunciado afirma que uma função y(x) satisfaz uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, digamos
y''(x) + p(x),y'(x) + q(x),y(x) = 0,
com condições iniciais
y(x0)=y0, y'(x0)=y'0
Queremos mostrar que não existe outra solução que passe por l(x0,y0r) com inclinação y'0. Para isso, vamos assumir duas soluções possíveis e comparar suas séries de Taylor centradas em x0.

Passo 2

Suponha que y1(x) e y2(x) sejam duas soluções da equação, ambas satisfazendo
y1(x0)=y2(x0)=y0, y1'(x0)=y2'(x0)=y'0
Definimos então
u(x) = y1(x) - y2(x)
Como ambas satisfazem a mesma ODE linear homogênea, u(x) satisfaz
u'' + p(x),u' + q(x),u = 0
e pelas condições iniciais
u(x0)=0, u'(x0)=0

Passo 3

Pela hipótese de coeficientes p(x) e q(x) analíticos em torno de x0, u(x) também pode ser expandida em série de Taylor:
u(x) = sumn=0^infty an,(x - x0)^n
As condições iniciais dão imediatamente
a0 = u(x0)=0, a1 = u'(x0)=0

Passo 4

Avalie a ODE para u em x=x0:
u''(x0) + p(x0),u'(x0) + q(x0),u(x0) = 0 ;Longrightarrow; u''(x0)=0
Mas
u''(x0) = 2a2,
logo
a2 = 0

Passo 5

Agora diferenciamos a equação
u'' + p(x),u' + q(x),u = 0
um total de n-2 vezes e avaliamos em x0. Em cada etapa obtemos uma relação da forma
u^(n)(x0) + [combinação de u^(k)(x0),;k<n] = 0 çã
Por hipótese de indução, todos os u^(k)(x0)=0 para k<n, de modo que
u^(n)(x0)=0 Longrightarrow an = u^(n)(x0)n! = 0
Isso vale para todo n>=0.

Passo 6

Como todos os coeficientes an da série de Taylor de u(x) são nulos, segue que
u(x)equiv0
numa vizinhança de x0. Portanto y1(x)=y2(x) ali, e não há outra solução diferente que satisfaça as mesmas condições iniciais.

Resposta

A solução é única: não existe outra função solução que passe por (x0,y0) com inclinação y'0.

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