9.5.6 Desenvolva soluções de série para a equação diferencial de Hermite

(a) y^prime prime-2 x y^prime+2 alpha y=0.
Resposta: k(k-1)=0, equação indicial.
Para k=0,
aj+2 & =2 aj j-alpha(j+1)(j+2) (j) ypar & =a0[1+2(-alpha) x^22!+2^2(-alpha)(2-alpha) x^44!+cdots]
Para k=1,
aj+2 & =2 aj j+1-alpha(j+2)(j+3) (j par ), y impar & =a1[x+2(1-alpha) x^33!+2^2(1-alpha)(3-alpha) x^55!+cdots]
(b) Mostre que ambas as soluções de série são convergentes para todo x, sendo que, para índices grandes, a razão entre coeficientes sucessivos se comporta como a razão correspondente na expansão de exp (x^2).
(c) Mostre que, por escolha adequada de alpha, as soluções de série podem ser abreviadas e convertidas a polinômios finitos. (Esses polinômios, adequadamente normalizados, se tornam polinômios de Hermite na Seção 13.1.)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções em série da equação de Hermite
y''-2x,y'+2alpha,y=0
usando o método de Frobenius, depois verificar que as séries convergem para todo x e, por fim, mostrar que para certos valores de alpha a série se interrompe, produzindo polinômios (os polinômios de Hermite).

Passo 2

Procuramos soluções da forma
y(x)=x^ksumj=0^inftyaj,x^j, a0neq0
Então
y'=sumj=0^infty (j+k)aj,x^j+k-1, y''=sumj=0^infty (j+k)(j+k-1)aj,x^j+k-2
Substituindo em y''-2x,y'+2alpha,y=0 e igualando o menor expoente de x a zero, obtemos a equação indicial
k(k-1)=0
cujas raízes são k=0 e k=1.

Passo 3

Caso k=0 (solução par): escrevendo os coeficientes de x^j obtemos a recorrência
aj+2=2,j-alpha(j+1)(j+2),aj, j=0,1,2,dots
Dessa forma só aparecem potências pares, e tomando a0 livre, a série é
ypar(x) =a0l[1 +2(-alpha)2!,x^2 +2^2(-alpha)(2-alpha)4!,x^4 +cdotsr]

Passo 4

Caso k=1 (solução ímpar): para o ramo ímpar surge
aj+2 =2,(j+1)-alpha(j+2)(j+3),aj, j=0,1,2,dots
e só aparecem potências ímpares. Tomando a1 livre,
yímpar(x) =a1l[x +2(1-alpha)3!,x^3 +2^2(1-alpha)(3-alpha)5!,x^5 +cdotsr] í

Passo 5

Para testar convergência usamos o teste da razão nas séries em x. Por exemplo, no caso par temos para j grande
aj+2,x^j+2aj,x^j sim2,jj^2,x^2=2,x^2jlongrightarrow0
Como o limite da razão entre termos sucessivos é 0, cada série converge para todo x. Além disso, para j grande a relação entre coeficientes aj+2/ajapprox2/j é a mesma que ocorre na expansão de exp(x^2), mostrando comportamento assintótico similar.

Passo 6

Para que a série termine e vire polinômio basta que, em algum passo, o numerador da recorrência se anule.
  • Na solução par: se j-alpha=0 para algum inteiro j>=0, ou seja alpha=ninN, então an+2=0 e todos os an+4,an+6,dots também são zero.
  • Na solução ímpar: se (j+1)-alpha=0 em algum j, ou seja alpha=ninN, interrompe a série ímpar.
    Assim, para cada alpha=ninN obtemos uma solução polinomial de grau n. Normalizados adequadamente, estes são os polinômios de Hermite.

Resposta

(a) As duas soluções em série têm indicial k(k-1)=0, dando k=0 (par) com
aj+2 =2,j-alpha(j+1)(j+2),aj,
e k=1 (ímpar) com
aj+2 =2,j+1-alpha(j+2)(j+3),aj
(b) Pelo teste da razão cada série converge para todo x, com coeficientes assintoticamente iguais aos de exp(x^2).
(c) Para alpha=ninN as séries terminam, produzindo polinômios de grau n, que após normalização são os polinômios de Hermite.

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