9.5.6 Desenvolva soluções de série para a equação diferencial de Hermite

(a) y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 \alpha y=0.
Resposta: k(k-1)=0, equação indicial.
Para k=0,
\begin{aligned} a_{j+2} & =2 a_{j} \frac{j-\alpha}{(j+1)(j+2)} \quad(j) \\\ y_{\mathrm{par}} & =a_{0}\left[1+\frac{2(-\alpha) x^{2}}{2!}+\frac{2^{2}(-\alpha)(2-\alpha) x^{4}}{4!}+\cdots\right] \end{aligned}
Para k=1,
\begin{aligned} a_{j+2} & =2 a_{j} \frac{j+1-\alpha}{(j+2)(j+3)} \quad(j \text { par }), \\\ y_{\text {impar }} & =a_{1}\left[x+\frac{2(1-\alpha) x^{3}}{3!}+\frac{2^{2}(1-\alpha)(3-\alpha) x^{5}}{5!}+\cdots\right] . \end{aligned}
(b) Mostre que ambas as soluções de série são convergentes para todo x, sendo que, para índices grandes, a razão entre coeficientes sucessivos se comporta como a razão correspondente na expansão de \exp \left(x^{2}\right).
(c) Mostre que, por escolha adequada de \alpha, as soluções de série podem ser abreviadas e convertidas a polinômios finitos. (Esses polinômios, adequadamente normalizados, se tornam polinômios de Hermite na Seção 13.1.)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções em série da equação de Hermite
y''-2x\,y'+2\alpha\,y=0
usando o método de Frobenius, depois verificar que as séries convergem para todo x e, por fim, mostrar que para certos valores de \alpha a série se interrompe, produzindo polinômios (os polinômios de Hermite).

Passo 2

Procuramos soluções da forma
y(x)=x^{k}\sum_{j=0}^{\infty}a_{j}\,x^{j},\quad a_{0}\neq0.
Então
y'=\sum_{j=0}^\infty (j+k)a_{j}\,x^{j+k-1},\quad y''=\sum_{j=0}^\infty (j+k)(j+k-1)a_{j}\,x^{j+k-2}.
Substituindo em y''-2x\,y'+2\alpha\,y=0 e igualando o menor expoente de x a zero, obtemos a equação indicial
k(k-1)=0
cujas raízes são k=0 e k=1.

Passo 3

Caso k=0 (solução par): escrevendo os coeficientes de x^{j} obtemos a recorrência
a_{j+2}=2\,\frac{j-\alpha}{(j+1)(j+2)}\,a_{j},\quad j=0,1,2,\dots
Dessa forma só aparecem potências pares, e tomando a_{0} livre, a série é
y_{\mathrm{par}}(x) =a_{0}\Bigl[1 +\frac{2(-\alpha)}{2!}\,x^{2} +\frac{2^{2}(-\alpha)(2-\alpha)}{4!}\,x^{4} +\cdots\Bigr].

Passo 4

Caso k=1 (solução ímpar): para o ramo ímpar surge
a_{j+2} =2\,\frac{(j+1)-\alpha}{(j+2)(j+3)}\,a_{j},\quad j=0,1,2,\dots
e só aparecem potências ímpares. Tomando a_{1} livre,
y_{\mathrm{ímpar}}(x) =a_{1}\Bigl[x +\frac{2(1-\alpha)}{3!}\,x^{3} +\frac{2^{2}(1-\alpha)(3-\alpha)}{5!}\,x^{5} +\cdots\Bigr].í

Passo 5

Para testar convergência usamos o teste da razão nas séries em x. Por exemplo, no caso par temos para j grande
\frac{a_{j+2}\,x^{j+2}}{a_{j}\,x^{j}} \sim\frac{2\,j}{j^{2}}\,x^{2}=\frac{2\,x^{2}}{j}\longrightarrow0.
Como o limite da razão entre termos sucessivos é 0, cada série converge para todo x. Além disso, para j grande a relação entre coeficientes a_{j+2}/a_{j}\approx2/j é a mesma que ocorre na expansão de \exp(x^{2}), mostrando comportamento assintótico similar.

Passo 6

Para que a série termine e vire polinômio basta que, em algum passo, o numerador da recorrência se anule.
  • Na solução par: se j-\alpha=0 para algum inteiro j\ge0, ou seja \alpha=n\in\mathbb{N}, então a_{n+2}=0 e todos os a_{n+4},a_{n+6},\dots também são zero.
  • Na solução ímpar: se (j+1)-\alpha=0 em algum j, ou seja \alpha=n\in\mathbb{N}, interrompe a série ímpar.
    Assim, para cada \alpha=n\in\mathbb{N} obtemos uma solução polinomial de grau n. Normalizados adequadamente, estes são os polinômios de Hermite.

Resposta

(a) As duas soluções em série têm indicial k(k-1)=0, dando k=0 (par) com
a_{j+2} =2\,\frac{j-\alpha}{(j+1)(j+2)}\,a_{j},
e k=1 (ímpar) com
a_{j+2} =2\,\frac{j+1-\alpha}{(j+2)(j+3)}\,a_{j}.
(b) Pelo teste da razão cada série converge para todo x, com coeficientes assintoticamente iguais aos de \exp(x^{2}).
(c) Para \alpha=n\in\mathbb{N} as séries terminam, produzindo polinômios de grau n, que após normalização são os polinômios de Hermite.

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