9.5.6 Desenvolva soluções de série para a equação diferencial de Hermite
(a)
.
Resposta:
, equação indicial.
Para
,
Para
,
(b) Mostre que ambas as soluções de série são convergentes para todo
, sendo que, para índices grandes, a razão entre coeficientes sucessivos se comporta como a razão correspondente na expansão de
.
(c) Mostre que, por escolha adequada de
, as soluções de série podem ser abreviadas e convertidas a polinômios finitos. (Esses polinômios, adequadamente normalizados, se tornam polinômios de Hermite na Seção 13.1.)
Para
(c) Mostre que, por escolha adequada de
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as soluções em série da equação de Hermite
usando o método de Frobenius, depois verificar que as séries convergem para todo
e, por fim, mostrar que para certos valores de
a série se interrompe, produzindo polinômios (os polinômios de Hermite).
Passo 2
Procuramos soluções da forma
Então
Substituindo em
e igualando o menor expoente de
a zero, obtemos a equação indicial
cujas raízes são
e
.
Passo 3
Caso
(solução par): escrevendo os coeficientes de
obtemos a recorrência
Dessa forma só aparecem potências pares, e tomando
livre, a série é
Passo 4
Caso
(solução ímpar): para o ramo ímpar surge
e só aparecem potências ímpares. Tomando
livre,
Passo 5
Para testar convergência usamos o teste da razão nas séries em
. Por exemplo, no caso par temos para
grande
Como o limite da razão entre termos sucessivos é
, cada série converge para todo
. Além disso, para
grande a relação entre coeficientes
é a mesma que ocorre na expansão de
, mostrando comportamento assintótico similar.
Passo 6
Para que a série termine e vire polinômio basta que, em algum passo, o numerador da recorrência se anule.
- Na solução par: se
para algum inteiro , ou seja , então e todos os também são zero. - Na solução ímpar: se
em algum , ou seja , interrompe a série ímpar.
Assim, para cadaobtemos uma solução polinomial de grau . Normalizados adequadamente, estes são os polinômios de Hermite.
Resposta
(a) As duas soluções em série têm indicial
, dando
(par) com
e
(ímpar) com
(b) Pelo teste da razão cada série converge para todo
, com coeficientes assintoticamente iguais aos de
.
(c) Para as séries terminam, produzindo polinômios de grau
, que após normalização são os polinômios de Hermite.
(c) Para