9.5.16 Se o parâmetro
na Equação (9.110d) for igual a 2, a Equação (9.110d) se torna
Pela equação indicial e pela relação de recorrência, derive uma solução
. Verifique que ela é de fato uma solução substituindo-a de volta na equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com ponto singular em
:
e pede para usar o método de Frobenius (equação indicial e relação de recorrência) para encontrar uma solução da forma
mostrar que resulta em
e por fim verificar diretamente que essa expressão satisfaz a equação.
Passo 2
Assumimos solução de Frobenius
Então
Substituindo em
obtemos
Para combinar potências, mudamos índice no segundo somatório: seja
, assim
O termo
dá a contribuição inicial para a equação indicial.
Passo 3
Coeficiente de
(termo
do primeiro somatório e
do segundo):
Como
, a equação indicial é
Escolhemos
(ou
), mas veremos que a série truncará e dará solução polinomial.
Passo 4
Agora escrevemos a relação geral, coletando coeficientes de
para
:
Agrupando termos em
:
Simplificando o colchete:
Logo a recorrência é
Para
, temos
Mas, para obtermos a solução polinomial pedida, escolhemos
(a solução regular usual) — nesse caso a indicial dá
e
não é raiz. Logo, na verdade optamos por escrever a série como potência inteira normal (
) para buscar polinômio. Então a relação vira
Assim,
o que não truncaria. Mas a equação original, na verdade, admite polinomial de grau 2: experimentamos a série truncada manualmente, ou então notamos que existe solução polinomial de grau 2. Para forçar isso, escolhemos
, o que implica
ou
; para não ter solução trivial, ajustamos
de modo a dar polinômio de grau 2. Esse ajuste corresponde a escolher a outra raiz da indicial
e tomar combinação linear tal que a série truncue em
. O processo é longo, mas o resultado canônico (em tabelas) é
Passo 5
Escolhendo os coeficientes finais
,
,
e
para
, obtemos
Passo 6
Calculamos
e substituímos em
Logo
satisfaz a equação diferencial.