9.5.8 Resolva e equação de Chebyshev

(1-x^2) Tn^prime prime-x Tn^prime+n^2 Tn=0
por substituição de série. Quais restrições são impostas a n se você exigir que a solução da série convirja para x= pm 1 ?
Resposta: A série infinita realmente converge para x= pm 1 e não existe nenhuma restrição imposta a n (compare com o Exercício 5.2.16).

Passo 1

O enunciado pede para resolver por série de potências a equação de Chebyshev
(1 - x^2),Tn''(x) ;-; x,Tn'(x);+;n^2,Tn(x)=0
e em seguida determinar quais restrições em n são necessárias para que a série resultante converja em x=pm1. Vamos usar o método de série de potências centrada em x=0.

Passo 2

Suponha
Tn(x) = sumk=0^infty ak,x^k
Então
Tn''(x)=sumk=2^inftyk(k-1),ak,x^k-2, Tn'(x)=sumk=1^inftyk,ak,x^k-1
Reescrevendo (1-x^2)T'' - xT' + n^2T=0 em potências de x^k e realinhando índices, obtemos

Passo 3

Coeficiente de x^k:
(k+2)(k+1),ak+2 ;-;k(k-1),ak ;-;k,ak ;+;n^2,ak ;=;0
Como -k(k-1)-k = -k^2, isto dá
(k+2)(k+1),ak+2 + (n^2-k^2),ak=0 Longrightarrow ak+2 = k^2-n^2(k+2)(k+1),ak

Passo 4

A relação de recorrência gera duas séries independentes, a da parte par (iniciada em a0) e a da parte ímpar (iniciada em a1). Para obter a solução Tn (que é par), toma-se a1=0 e escolhe-se a0 tal que Tn(1)=1. Assim
Tn(x)=summ=0^inftya2m,x^2m, a2m+2 = (2m)^2-n^2(2m+2)(2m+1),a2m

Passo 5

Para estudar convergência, aplicamos o teste da razão na série par. Para grandes m,
gl|a2(m+1)a2m,x^2gr| =gl|(2m)^2-n^2(2m+2)(2m+1)gr|;|x|^2 ;longrightarrow;|x|^2
Logo o raio de convergência é R=1. Em x=pm1, a razão tende a 1, de modo que a convergência não é absoluta, mas a série converge condicionalmente para qualquer valor de n.

Passo 6

Portanto, não há nenhuma restrição sobre n para que a série infinita convirja em x=pm1. A solução em série convergirá condicionalmente nos pontos x=pm1 sem exigir n inteiro.

Resposta

Não existem restrições sobre n; a série de potências de Tn(x) converge em x=pm1 para qualquer n.

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