e em seguida determinar quais restrições em n são necessárias para que a série resultante converja em x=\pm1. Vamos usar o método de série de potências centrada em x=0.
A relação de recorrência gera duas séries independentes, a da parte par (iniciada em a_{0}) e a da parte ímpar (iniciada em a_{1}). Para obter a solução T_{n} (que é par), toma-se a_{1}=0 e escolhe-se a_{0} tal que T_{n}(1)=1. Assim
Logo o raio de convergência é R=1. Em x=\pm1, a razão tende a 1, de modo que a convergência não é absoluta, mas a série converge condicionalmente para qualquer valor de n.
Passo 6
Portanto, não há nenhuma restrição sobre n para que a série infinita convirja em x=\pm1. A solução em série convergirá condicionalmente nos pontos x=\pm1 sem exigir n inteiro.
Resposta
Não existem restrições sobre n; a série de potências de T_{n}(x) converge em x=\pm1 para qualquer n.
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 9.5 - Ex. 9.5.8