9.5.8 Resolva e equação de Chebyshev

\left(1-x^{2}\right) T_{n}^{\prime \prime}-x T_{n}^{\prime}+n^{2} T_{n}=0
por substituição de série. Quais restrições são impostas a n se você exigir que a solução da série convirja para x= \pm 1 ?
Resposta: A série infinita realmente converge para x= \pm 1 e não existe nenhuma restrição imposta a n (compare com o Exercício 5.2.16).

Passo 1

O enunciado pede para resolver por série de potências a equação de Chebyshev
(1 - x^{2})\,T_{n}''(x) \;-\; x\,T_{n}'(x)\;+\;n^{2}\,T_{n}(x)=0
e em seguida determinar quais restrições em n são necessárias para que a série resultante converja em x=\pm1. Vamos usar o método de série de potências centrada em x=0.

Passo 2

Suponha
T_{n}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k}\,x^{k}.
Então
T_{n}''(x)=\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)\,a_{k}\,x^{k-2}, \quad T_{n}'(x)=\sum_{k=1}^{\infty}k\,a_{k}\,x^{k-1}.
Reescrevendo (1-x^2)T'' - xT' + n^2T=0 em potências de x^{k} e realinhando índices, obtemos

Passo 3

Coeficiente de x^{k}:
(k+2)(k+1)\,a_{k+2} \;-\;k(k-1)\,a_{k} \;-\;k\,a_{k} \;+\;n^{2}\,a_{k} \;=\;0.
Como -k(k-1)-k = -k^{2}, isto dá
(k+2)(k+1)\,a_{k+2} + (n^{2}-k^{2})\,a_{k}=0 \quad\Longrightarrow\quad a_{k+2} = \frac{k^{2}-n^{2}}{(k+2)(k+1)}\,a_{k}.

Passo 4

A relação de recorrência gera duas séries independentes, a da parte par (iniciada em a_{0}) e a da parte ímpar (iniciada em a_{1}). Para obter a solução T_{n} (que é par), toma-se a_{1}=0 e escolhe-se a_{0} tal que T_{n}(1)=1. Assim
T_{n}(x)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{2m}\,x^{2m}, \quad a_{2m+2} = \frac{(2m)^{2}-n^{2}}{(2m+2)(2m+1)}\,a_{2m}.

Passo 5

Para estudar convergência, aplicamos o teste da razão na série par. Para grandes m,
\biggl|\frac{a_{2(m+1)}}{a_{2m}}\,x^{2}\biggr| =\biggl|\frac{(2m)^{2}-n^{2}}{(2m+2)(2m+1)}\biggr|\;|x|^{2} \;\longrightarrow\;|x|^{2}.
Logo o raio de convergência é R=1. Em x=\pm1, a razão tende a 1, de modo que a convergência não é absoluta, mas a série converge condicionalmente para qualquer valor de n.

Passo 6

Portanto, não há nenhuma restrição sobre n para que a série infinita convirja em x=\pm1. A solução em série convergirá condicionalmente nos pontos x=\pm1 sem exigir n inteiro.

Resposta

Não existem restrições sobre n; a série de potências de T_{n}(x) converge em x=\pm1 para qualquer n.

Exercícios de Livros Relacionados