por substituição de série. Quais restrições são impostas a se você exigir que a solução da série convirja para ?
Resposta: A série infinita realmente converge para e não existe nenhuma restrição imposta a (compare com o Exercício 5.2.16).
Passo 1
O enunciado pede para resolver por série de potências a equação de Chebyshev
e em seguida determinar quais restrições em são necessárias para que a série resultante converja em . Vamos usar o método de série de potências centrada em .
Passo 2
Suponha
Então
Reescrevendo em potências de e realinhando índices, obtemos
Passo 3
Coeficiente de :
Como , isto dá
Passo 4
A relação de recorrência gera duas séries independentes, a da parte par (iniciada em ) e a da parte ímpar (iniciada em ). Para obter a solução (que é par), toma-se e escolhe-se tal que . Assim
Passo 5
Para estudar convergência, aplicamos o teste da razão na série par. Para grandes ,
Logo o raio de convergência é R=1. Em x=pm1, a razão tende a 1, de modo que a convergência não é absoluta, mas a série converge condicionalmente para qualquer valor de n.
Passo 6
Portanto, não há nenhuma restrição sobre n para que a série infinita convirja em x=pm1. A solução em série convergirá condicionalmente nos pontos x=pm1 sem exigir n inteiro.
Resposta
Não existem restrições sobre n; a série de potências de Tn(x) converge em x=pm1 para qualquer n.
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 9.5 - Ex. 9.5.8