9.5.4 Analise as soluções de série das seguintes equações diferenciais para ver quando a_{1} pode ser igualado a zero sem que nada seja irrevogavelmente perdido e quando a_{1} deve ser igualado a zero. (a) Legendre, (b) Chebyshev, (c) Bessel, (d) Hermite.

Passo 1

O enunciado pede para investigarmos, em cada uma das quatro equações diferenciais, as soluções em série em torno de x=0 (ou método de Frobenius), e descobrir em quais casos o coeficiente inicial a_{1} pode ser fixado igual a zero sem perder a generalidade da solução e em quais casos ele precisa ser forçosamente nulo para termos uma série regular. Vamos, portanto, escrever o “ansatz”
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}
ou, no caso de Bessel, o ansatz de Frobenius
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+\nu}
inserir na EDO, obter a relação de recorrência entre os a_{n} e daí discutir o papel de a_{1}.

Passo 2

Legendre. A equação é
(1 - x^{2})\,y'' - 2x\,y' + \lambda\,y = 0.
Inserindo y=\sum a_{n}x^{n} dá a recorrência
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} - [\,n(n+1)-\lambda\,]\,a_{n} = 0.
Repare que a_{n+2} se relaciona apenas com a_{n}, ou seja, os termos de ordem par formam uma cadeia e os de ordem ímpar formam outra. Logo há duas séries independentes:
  • a par (inicia em a_{0}),
  • a ímpar (inicia em a_{1}).
    Isso significa que a solução geral tem dois constantes livres, a_{0} e a_{1}. Se quisermos enfatizar a parte par podemos simplesmente escolher a_{1}=0 sem “perder” a outra família de soluções (ela fica toda contida no parâmetro a_{0}), e vice-versa. Portanto, em Legendre a_{1} pode ser igualado a zero sem prejuízo da generalidade (permanece o espaço bidimensional de soluções).

Passo 3

Chebyshev. A equação de Chebyshev de primeira espécie é
(1 - x^{2})\,y'' - x\,y' + \lambda\,y = 0,
com \lambda = n^{2}. Repetindo o ansatz em série surge a recorrência
(n+2)(n+1)\,a_{n+2} - n^{2}\,a_{n} = 0,
que novamente separa termos pares e ímpares. Assim, como em Legendre, temos duas constantes a_{0} e a_{1}. Porém, para obter polinômios de grau finito (isto é, para a série truncar em n), deve-se escolher a paridade certa:
  • Se n é par, a série par truncará e a ímpar diverge, então deve-se pôr a_{1}=0 para obter T_{n}(x).
  • Se n é ímpar, a série ímpar truncará e a par diverge, então deve-se pôr a_{0}=0 e manter a_{1}\neq0 para obter T_{n}(x).
    Resumindo, em Chebyshev a_{1} só pode ser zero quando n é par (caso contrário, a única solução polinomial vem de a_{0}=0).

Passo 4

Bessel. A equação de Bessel de ordem \nu é
x^{2}y'' + x\,y' + (x^{2}-\nu^{2})\,y = 0.
Usando Frobenius y=\sum a_{n}x^{n+\nu} leva ao indicial \nu^2-\nu^2=0 e à recorrência
a_{n+2}=-\frac{1}{(n+2)(n+2\nu+1)}\,a_{n}.
Aqui, de novo, surgem duas cadeias de coeficientes: uma iniciada em a_{0} (gera J_{\nu}(x)) e outra iniciada em a_{1} (gera J_{-\nu}(x) se \nu\notin\mathbb{Z}, ou uma série com log se \nu\in\mathbb{Z}). Mas a segunda solução, aquela ligada a a_{1}, é singular em x=0 (ou envolve logaritmos se \nu\in\mathbb{Z}), não sendo uma série de potências regulares.
Portanto, para obter a solução regular em x=0 (o J_{\nu} “clássico”), é obrigatório escolher a_{1}=0.

Passo 5

Hermite. A equação de Hermite é
y'' - 2x\,y' + \lambda\,y = 0.
Inserindo y=\sum a_{n}x^{n} encontra-se
a_{n+2} = \frac{2n - \lambda}{(n+2)(n+1)}\,a_{n}.
De novo os termos pares só dependem de a_{0} e os ímpares só de a_{1}. Para obter o polinômio de Hermite H_{n}(x) (isto é, truncar a série), usa-se \lambda=2n:
  • Se n é par, a cadeia par truncará e a ímpar diverge, logo a_{1}=0.
  • Se n é ímpar, a cadeia ímpar truncará e a par diverge, logo a_{0}=0 e a_{1}\neq0.
    Assim, em Hermite a_{1} deve ser zero sempre que n for par para obter o polinomial de grau n.

Resposta

(a) Em Legendre a paridade separa as duas séries, então a_{1} pode ser posto zero sem perder generalidade (você obtém a solução par, a outra fica em a_{0}).
(b) Em Chebyshev, para ter polinômios de grau n:
\quad– se n é par, a_{1}=0;
\quad– se n é ímpar, a_{0}=0 e a_{1}\neq0.
(c) Em Bessel, para obter a solução regular J_{\nu}(x) em x=0, a_{1} deve ser zero (caso contrário vem uma solução singular ou com log).
(d) Em Hermite, para ter Hermite de grau n:
\quad– se n é par, a_{1}=0;
\quad– se n é ímpar, a_{0}=0 e a_{1}\neq0.

Exercícios de Livros Relacionados