9.5.4 Analise as soluções de série das seguintes equações diferenciais para ver quando a1 pode ser igualado a zero sem que nada seja irrevogavelmente perdido e quando a1 deve ser igualado a zero. (a) Legendre, (b) Chebyshev, (c) Bessel, (d) Hermite.

Passo 1

O enunciado pede para investigarmos, em cada uma das quatro equações diferenciais, as soluções em série em torno de x=0 (ou método de Frobenius), e descobrir em quais casos o coeficiente inicial a1 pode ser fixado igual a zero sem perder a generalidade da solução e em quais casos ele precisa ser forçosamente nulo para termos uma série regular. Vamos, portanto, escrever o “ansatz”
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
ou, no caso de Bessel, o ansatz de Frobenius
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+nu
inserir na EDO, obter a relação de recorrência entre os an e daí discutir o papel de a1.

Passo 2

Legendre. A equação é
(1 - x^2),y'' - 2x,y' + lambda,y = 0
Inserindo y=sum anx^n dá a recorrência
(n+2)(n+1),an+2 - [,n(n+1)-lambda,],an = 0
Repare que an+2 se relaciona apenas com an, ou seja, os termos de ordem par formam uma cadeia e os de ordem ímpar formam outra. Logo há duas séries independentes:
  • a par (inicia em a0),
  • a ímpar (inicia em a1).
    Isso significa que a solução geral tem dois constantes livres, a0 e a1. Se quisermos enfatizar a parte par podemos simplesmente escolher a1=0 sem “perder” a outra família de soluções (ela fica toda contida no parâmetro a0), e vice-versa. Portanto, em Legendre a1 pode ser igualado a zero sem prejuízo da generalidade (permanece o espaço bidimensional de soluções).

Passo 3

Chebyshev. A equação de Chebyshev de primeira espécie é
(1 - x^2),y'' - x,y' + lambda,y = 0,
com lambda = n^2. Repetindo o ansatz em série surge a recorrência
(n+2)(n+1),an+2 - n^2,an = 0,
que novamente separa termos pares e ímpares. Assim, como em Legendre, temos duas constantes a0 e a1. Porém, para obter polinômios de grau finito (isto é, para a série truncar em n), deve-se escolher a paridade certa:
  • Se n é par, a série par truncará e a ímpar diverge, então deve-se pôr a1=0 para obter Tn(x).
  • Se n é ímpar, a série ímpar truncará e a par diverge, então deve-se pôr a0=0 e manter a1neq0 para obter Tn(x).
    Resumindo, em Chebyshev a1 só pode ser zero quando n é par (caso contrário, a única solução polinomial vem de a0=0).

Passo 4

Bessel. A equação de Bessel de ordem nu é
x^2y'' + x,y' + (x^2-nu^2),y = 0
Usando Frobenius y=sum anx^n+nu leva ao indicial nu^2-nu^2=0 e à recorrência
an+2=-1(n+2)(n+2nu+1),an
Aqui, de novo, surgem duas cadeias de coeficientes: uma iniciada em a0 (gera Jnu(x)) e outra iniciada em a1 (gera J-nu(x) se nunotinZ, ou uma série com log se nuinZ). Mas a segunda solução, aquela ligada a a1, é singular em x=0 (ou envolve logaritmos se nuinZ), não sendo uma série de potências regulares.
Portanto, para obter a solução regular em x=0 (o Jnu “clássico”), é obrigatório escolher a1=0.

Passo 5

Hermite. A equação de Hermite é
y'' - 2x,y' + lambda,y = 0
Inserindo y=sum anx^n encontra-se
an+2 = 2n - lambda(n+2)(n+1),an
De novo os termos pares só dependem de a0 e os ímpares só de a1. Para obter o polinômio de Hermite Hn(x) (isto é, truncar a série), usa-se lambda=2n:
  • Se n é par, a cadeia par truncará e a ímpar diverge, logo a1=0.
  • Se n é ímpar, a cadeia ímpar truncará e a par diverge, logo a0=0 e a1neq0.
    Assim, em Hermite a1 deve ser zero sempre que n for par para obter o polinomial de grau n.

Resposta

(a) Em Legendre a paridade separa as duas séries, então a1 pode ser posto zero sem perder generalidade (você obtém a solução par, a outra fica em a0).
(b) Em Chebyshev, para ter polinômios de grau n:
\quad– se n é par, a1=0;
\quad– se n é ímpar, a0=0 e a1neq0.
(c) Em Bessel, para obter a solução regular Jnu(x) em x=0, a1 deve ser zero (caso contrário vem uma solução singular ou com log).
(d) Em Hermite, para ter Hermite de grau n:
\quad– se n é par, a1=0;
\quad– se n é ímpar, a0=0 e a1neq0.

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