9.5.4 Analise as soluções de série das seguintes equações diferenciais para ver quando
pode ser igualado a zero sem que nada seja irrevogavelmente perdido e quando
deve ser igualado a zero. (a) Legendre, (b) Chebyshev, (c) Bessel, (d) Hermite.
Passo 1
O enunciado pede para investigarmos, em cada uma das quatro equações diferenciais, as soluções em série em torno de
(ou método de Frobenius), e descobrir em quais casos o coeficiente inicial
pode ser fixado igual a zero sem perder a generalidade da solução e em quais casos ele precisa ser forçosamente nulo para termos uma série regular. Vamos, portanto, escrever o “ansatz”
ou, no caso de Bessel, o ansatz de Frobenius
inserir na EDO, obter a relação de recorrência entre os
e daí discutir o papel de
.
Passo 2
Legendre. A equação é
Inserindo
dá a recorrência
Repare que
se relaciona apenas com
, ou seja, os termos de ordem par formam uma cadeia e os de ordem ímpar formam outra. Logo há duas séries independentes:
- a par (inicia em
), - a ímpar (inicia em
).
Isso significa que a solução geral tem dois constantes livres,e . Se quisermos enfatizar a parte par podemos simplesmente escolher sem “perder” a outra família de soluções (ela fica toda contida no parâmetro ), e vice-versa. Portanto, em Legendre pode ser igualado a zero sem prejuízo da generalidade (permanece o espaço bidimensional de soluções).
Passo 3
Chebyshev. A equação de Chebyshev de primeira espécie é
com
. Repetindo o ansatz em série surge a recorrência
que novamente separa termos pares e ímpares. Assim, como em Legendre, temos duas constantes
e
. Porém, para obter polinômios de grau finito (isto é, para a série truncar em
), deve-se escolher a paridade certa:
- Se
é par, a série par truncará e a ímpar diverge, então deve-se pôr para obter . - Se
é ímpar, a série ímpar truncará e a par diverge, então deve-se pôr e manter para obter .
Resumindo, em Chebyshevsó pode ser zero quando é par (caso contrário, a única solução polinomial vem de ).
Passo 4
Bessel. A equação de Bessel de ordem
é
Usando Frobenius
leva ao indicial
e à recorrência
Aqui, de novo, surgem duas cadeias de coeficientes: uma iniciada em
(gera
) e outra iniciada em
(gera
se
, ou uma série com log se
). Mas a segunda solução, aquela ligada a
, é singular em
(ou envolve logaritmos se
), não sendo uma série de potências regulares.
Portanto, para obter a solução regular em (o
“clássico”), é obrigatório escolher
.
Portanto, para obter a solução regular em
Passo 5
Hermite. A equação de Hermite é
Inserindo
encontra-se
De novo os termos pares só dependem de
e os ímpares só de
. Para obter o polinômio de Hermite
(isto é, truncar a série), usa-se
:
- Se
é par, a cadeia par truncará e a ímpar diverge, logo . - Se
é ímpar, a cadeia ímpar truncará e a par diverge, logo e .
Assim, em Hermitedeve ser zero sempre que for par para obter o polinomial de grau .
Resposta
(a) Em Legendre a paridade separa as duas séries, então
pode ser posto zero sem perder generalidade (você obtém a solução par, a outra fica em
).
(b) Em Chebyshev, para ter polinômios de grau :
\quad– se é par,
;
\quad– se é ímpar,
e
.
(c) Em Bessel, para obter a solução regular em
,
deve ser zero (caso contrário vem uma solução singular ou com log).
(d) Em Hermite, para ter Hermite de grau :
\quad– se é par,
;
\quad– se é ímpar,
e
.
(b) Em Chebyshev, para ter polinômios de grau
\quad– se
\quad– se
(c) Em Bessel, para obter a solução regular
(d) Em Hermite, para ter Hermite de grau
\quad– se
\quad– se