9.5.9 Resolva

(1-x^2) Un^prime prime(x)-3 x Un^prime(x)+n(n+2) Un(x)=0,
escolhendo a raiz da equação indicial para obter uma série ímpar de potências de x. Uma vez que a série divergirá para x=1, escolha n para convertê-la em um polinômio.
k(k-1)=0
Para k=1,
aj+2=(j+1)(j+3)-n(n+2)(j+2)(j+3) aj

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Sturm–Liouville associada aos polinômios de Chebyshev de segunda espécie,
(1 - x^2),Un''(x);-;3,x,Un'(x);+;n(n+2),Un(x);=;0,
e pede a série em potências de x correspondente à raiz k=1 da equação indicial, isto é, uma série só de potências ímpares de x. Depois, para evitar que a série diverja em x=1, devemos escolher valores de n que façam a série truncar, tornando-se um polinômio.

Passo 2

Assumimos a solução na forma
Un(x)=sumj=0^inftyaj,x^j+1,
de modo que só apareçam potências ímpares. Substituindo na equação e igualando coeficientes em cada potência, chega-se ao seguinte re­cur­rên­cia:
aj+2 ;=;(j+1)(j+3);-;n(n+2)(j+2)(j+3),aj,

Passo 3

Em geral essa recorrência produz uma série infinita cujo raio de convergência é 1, logo diverge em x=1. Para que a solução seja um polinômio devemos fazer com que, para algum índice j0, o numerador da fração seja zero, isto é,
(j0+1)(j0+3);-;n(n+2)=0,
pois então aj0+2=0 e todos os termos seguintes também serão nulos.

Passo 4

Da condição
(j0+1)(j0+3)=n(n+2)
obtemos duas soluções formais j0+1=n ou j0+3=-n-2; a segunda dá j0<0 e não serve para a série em j>=0. Portanto
j0=n-1
Como na série só usamos j par (para gerar potências x^1,x^3,x^5,dots), exigimos n-1 par, isto é, n ímpar. Escrevemos
n=2m+1, m=0,1,2,dots
e então j0=2m. A partir daí a2m+2=0 e a série termina, produzindo um polinômio de grau 2m+1.

Passo 5

Concluímos que os valores que fazem a série ímpar truncar são
n=2m+1, minN,
e a solução polinomial (a menos de uma constante a0) fica
U2m+1(x) =sumk=0^ma2k,x^2k+1,
com coeficientes dados recursivamente por
a2(k+1) =(2k+1)(2k+3)-(2m+1)(2m+3)(2k+2)(2k+3);a2k,
o que leva a uma forma fechada, por exemplo,
a2k =(-1)^k,(m+k+1)!(m-k)!,k!,(2k+1)!;a0

Resposta

Para a série ímpar truncar e virar polinômio é necessário
n=2m+1, m=0,1,2,dots,
caso em que
U2m+1(x) =a0sumk=0^m(-1)^k,(m+k+1)!(m-k)!,k!,(2k+1)!;x^2k+1
é o polinômio solução de grau 2m+1.

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