9.5.9 Resolva
escolhendo a raiz da equação indicial para obter uma série ímpar de potências de
. Uma vez que a série divergirá para
, escolha
para convertê-la em um polinômio.
Para
,
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de Sturm–Liouville associada aos polinômios de Chebyshev de segunda espécie,
e pede a série em potências de
correspondente à raiz
da equação indicial, isto é, uma série só de potências ímpares de
. Depois, para evitar que a série diverja em
, devemos escolher valores de
que façam a série truncar, tornando-se um polinômio.
Passo 2
Assumimos a solução na forma
de modo que só apareçam potências ímpares. Substituindo na equação e igualando coeficientes em cada potência, chega-se ao seguinte recurrência:
Passo 3
Em geral essa recorrência produz uma série infinita cujo raio de convergência é
, logo diverge em
. Para que a solução seja um polinômio devemos fazer com que, para algum índice
, o numerador da fração seja zero, isto é,
pois então
e todos os termos seguintes também serão nulos.
Passo 4
Da condição
obtemos duas soluções formais
ou
; a segunda dá
e não serve para a série em
. Portanto
Como na série só usamos
par (para gerar potências
), exigimos
par, isto é,
ímpar. Escrevemos
e então
. A partir daí
e a série termina, produzindo um polinômio de grau
.
Passo 5
Concluímos que os valores que fazem a série ímpar truncar são
e a solução polinomial (a menos de uma constante
) fica
com coeficientes dados recursivamente por
o que leva a uma forma fechada, por exemplo,
Resposta
Para a série ímpar truncar e virar polinômio é necessário
caso em que
é o polinômio solução de grau
.