9.5.9 Resolva

\left(1-x^{2}\right) U_{n}^{\prime \prime}(x)-3 x U_{n}^{\prime}(x)+n(n+2) U_{n}(x)=0,
escolhendo a raiz da equação indicial para obter uma série ímpar de potências de x. Uma vez que a série divergirá para x=1, escolha n para convertê-la em um polinômio.
k(k-1)=0 .
Para k=1,
a_{j+2}=\frac{(j+1)(j+3)-n(n+2)}{(j+2)(j+3)} a_{j} .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de Sturm–Liouville associada aos polinômios de Chebyshev de segunda espécie,
(1 - x^2)\,U_n''(x)\;-\;3\,x\,U_n'(x)\;+\;n(n+2)\,U_n(x)\;=\;0,
e pede a série em potências de x correspondente à raiz k=1 da equação indicial, isto é, uma série só de potências ímpares de x. Depois, para evitar que a série diverja em x=1, devemos escolher valores de n que façam a série truncar, tornando-se um polinômio.

Passo 2

Assumimos a solução na forma
U_n(x)=\sum_{j=0}^{\infty}a_j\,x^{j+1},
de modo que só apareçam potências ímpares. Substituindo na equação e igualando coeficientes em cada potência, chega-se ao seguinte re­cur­rên­cia:
a_{j+2} \;=\;\frac{(j+1)(j+3)\;-\;n(n+2)}{(j+2)(j+3)}\,a_j\,.

Passo 3

Em geral essa recorrência produz uma série infinita cujo raio de convergência é 1, logo diverge em x=1. Para que a solução seja um polinômio devemos fazer com que, para algum índice j_0, o numerador da fração seja zero, isto é,
(j_0+1)(j_0+3)\;-\;n(n+2)=0,
pois então a_{j_0+2}=0 e todos os termos seguintes também serão nulos.

Passo 4

Da condição
(j_0+1)(j_0+3)=n(n+2)
obtemos duas soluções formais j_0+1=n ou j_0+3=-n-2; a segunda dá j_0<0 e não serve para a série em j\ge0. Portanto
j_0=n-1.
Como na série só usamos j par (para gerar potências x^{1},x^{3},x^{5},\dots), exigimos n-1 par, isto é, n ímpar. Escrevemos
n=2m+1,\qquad m=0,1,2,\dots
e então j_0=2m. A partir daí a_{2m+2}=0 e a série termina, produzindo um polinômio de grau 2m+1.

Passo 5

Concluímos que os valores que fazem a série ímpar truncar são
n=2m+1,\quad m\in\mathbb{N},
e a solução polinomial (a menos de uma constante a_0) fica
U_{2m+1}(x) =\sum_{k=0}^{m}a_{2k}\,x^{2k+1},
com coeficientes dados recursivamente por
a_{2(k+1)} =\frac{(2k+1)(2k+3)-(2m+1)(2m+3)}{(2k+2)(2k+3)}\;a_{2k},
o que leva a uma forma fechada, por exemplo,
a_{2k} =(-1)^k\,\frac{(m+k+1)!}{(m-k)!\,k!\,(2k+1)!}\;a_0.

Resposta

Para a série ímpar truncar e virar polinômio é necessário
n=2m+1,\quad m=0,1,2,\dots,
caso em que
U_{2m+1}(x) =a_0\sum_{k=0}^{m}(-1)^k\,\frac{(m+k+1)!}{(m-k)!\,k!\,(2k+1)!}\;x^{2k+1}
é o polinômio solução de grau 2m+1.

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