9.5.3 No desenvolvimento de uma solução de série da equação do oscilador harmônico simples (OHS), o segundo coeficiente da série a_{1} foi desprezado exceto para o igualar a zero. Desenvolva uma segunda equação do tipo indicial a partir do coeficiente da próxima potência mais baixa de x, x^{k-1},
(a) (equação OHS com k=0 ). Mostre que se pode atribuir qualquer valor finito a a_{1} (incluindo zero).
(b) (equação OHS com k=1 ). Mostre que a_{1} deve ser igualado a zero.

Passo 1

O enunciado pede que, na solução em série da equação do oscilador harmônico simples
y'' + \omega^2 y = 0,
que admitimos da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^{n+k},
já obtivemos a equação indicial inicial k(k-1)=0. Agora precisamos extrair uma segunda equação indicial a partir do coeficiente de x^{k-1} e então ver o que isso impõe a a_1 nos dois valores possíveis de k.

Passo 2

Calculemos y'' e façamos a substituição:
y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^{n+k} \quad\Longrightarrow\quad y''(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,(n+k)(n+k-1)\,x^{n+k-2}.
Logo a equação diferencial vira
\sum_{n=0}^\infty a_n\,(n+k)(n+k-1)\,x^{n+k-2} +\omega^2\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^{n+k}=0.

Passo 3

Reindexando a primeira soma com m=n-2 e a segunda com m=n, obtemos
\sum_{m=-2}^\infty (m+k+2)(m+k+1)\,a_{m+2}\,x^{m+k} \;+\;\omega^2\sum_{m=0}^\infty a_m\,x^{m+k}=0.
Para cada potência x^{m+k} o coeficiente deve ser zero. Em m=-2 surge
k(k-1)\,a_0=0,
que é a equação indicial já conhecida e dá k=0 ou k=1.

Passo 4

O próximo termo é m=-1, que corresponde a x^{k-1}. Da primeira soma vem
(m=-1)\;\Longrightarrow\;(k+1)k\,a_{1}\,x^{k-1},
enquanto a segunda soma não contribui nessa potência. Assim a segunda equação indicial é
(k+1)\,k\,a_1=0.

Passo 5

Para k=0 temos
(0+1)\cdot0\cdot a_1=0\quad\Longrightarrow\quad0=0,
ou seja, não há restrição sobre a_1: ele pode assumir qualquer valor finito.

Passo 6

Para k=1 temos
(1+1)\cdot1\cdot a_1=2\,a_1=0 \quad\Longrightarrow\quad a_1=0.

Resposta

(a) Para k=0: a_1 pode ser atribuído a qualquer valor finito (inclusive zero).
(b) Para k=1: a_1 deve ser igualado a zero.

Exercícios de Livros Relacionados