9.5.3 No desenvolvimento de uma solução de série da equação do oscilador harmônico simples (OHS), o segundo coeficiente da série a1 foi desprezado exceto para o igualar a zero. Desenvolva uma segunda equação do tipo indicial a partir do coeficiente da próxima potência mais baixa de x, x^k-1,
(a) (equação OHS com k=0 ). Mostre que se pode atribuir qualquer valor finito a a1 (incluindo zero).
(b) (equação OHS com k=1 ). Mostre que a1 deve ser igualado a zero.

Passo 1

O enunciado pede que, na solução em série da equação do oscilador harmônico simples
y'' + omega^2 y = 0,
que admitimos da forma
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+k,
já obtivemos a equação indicial inicial k(k-1)=0. Agora precisamos extrair uma segunda equação indicial a partir do coeficiente de x^k-1 e então ver o que isso impõe a a1 nos dois valores possíveis de k.

Passo 2

Calculemos y'' e façamos a substituição:
y(x)=sumn=0^infty an,x^n+k Longrightarrow y''(x)=sumn=0^infty an,(n+k)(n+k-1),x^n+k-2
Logo a equação diferencial vira
sumn=0^infty an,(n+k)(n+k-1),x^n+k-2 +omega^2sumn=0^infty an,x^n+k=0

Passo 3

Reindexando a primeira soma com m=n-2 e a segunda com m=n, obtemos
summ=-2^infty (m+k+2)(m+k+1),am+2,x^m+k ;+;omega^2summ=0^infty am,x^m+k=0
Para cada potência x^m+k o coeficiente deve ser zero. Em m=-2 surge
k(k-1),a0=0,
que é a equação indicial já conhecida e dá k=0 ou k=1.

Passo 4

O próximo termo é m=-1, que corresponde a x^k-1. Da primeira soma vem
(m=-1);Longrightarrow;(k+1)k,a1,x^k-1,
enquanto a segunda soma não contribui nessa potência. Assim a segunda equação indicial é
(k+1),k,a1=0

Passo 5

Para k=0 temos
(0+1)cdot0cdot a1=0Longrightarrow0=0,
ou seja, não há restrição sobre a1: ele pode assumir qualquer valor finito.

Passo 6

Para k=1 temos
(1+1)cdot1cdot a1=2,a1=0 Longrightarrow a1=0

Resposta

(a) Para k=0: a1 pode ser atribuído a qualquer valor finito (inclusive zero).
(b) Para k=1: a1 deve ser igualado a zero.

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