9.5.3 No desenvolvimento de uma solução de série da equação do oscilador harmônico simples (OHS), o segundo coeficiente da série
foi desprezado exceto para o igualar a zero. Desenvolva uma segunda equação do tipo indicial a partir do coeficiente da próxima potência mais baixa de
,
(a) (equação OHS com
). Mostre que se pode atribuir qualquer valor finito a
(incluindo zero).
(b) (equação OHS com
). Mostre que
deve ser igualado a zero.
(a) (equação OHS com
(b) (equação OHS com
Passo 1
O enunciado pede que, na solução em série da equação do oscilador harmônico simples
que admitimos da forma
já obtivemos a equação indicial inicial
. Agora precisamos extrair uma segunda equação indicial a partir do coeficiente de
e então ver o que isso impõe a
nos dois valores possíveis de
.
Passo 2
Calculemos
e façamos a substituição:
Logo a equação diferencial vira
Passo 3
Reindexando a primeira soma com
e a segunda com
, obtemos
Para cada potência
o coeficiente deve ser zero. Em
surge
que é a equação indicial já conhecida e dá
ou
.
Passo 4
O próximo termo é
, que corresponde a
. Da primeira soma vem
enquanto a segunda soma não contribui nessa potência. Assim a segunda equação indicial é
Passo 5
Para
temos
ou seja, não há restrição sobre
: ele pode assumir qualquer valor finito.
Passo 6
Para
temos
Resposta
(a) Para
:
pode ser atribuído a qualquer valor finito (inclusive zero).
(b) Para :
deve ser igualado a zero.
(b) Para