O Sr. Ângelo é proprietário de um hotel para viajantes solitários com 40 suítes. Ele sabe que, se cobrar $150,00 por diária, o hotel permanece lotado. Por outro lado, para cada 5,00$ de aumento na diária, uma suíte permanece vazia.
a) Obtenha a função de demanda admitindo-a como função do grau.
b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita?

Passo 1

O enunciado diz que o número de suítes ocupadas q varia linearmente com o preço da diária p. Quando p=R$150,00, temos q=40. E para cada aumento de R$5,00 em p, q diminui em 1. Vamos primeiro obter a função de demanda q(p) de 1º grau e em seguida achar o preço que maximiza a receita.

Passo 2

O coeficiente angular b da reta q(p)=a+bp vem de
De<a q = -1 quando De<a p = +5,
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b = De<a qDe<a p = -15

Passo 3

Para achar o coeficiente linear a, usamos o ponto (p,q)=(150,40):
40 = a - 15cdot 150 Longrightarrow 40 = a - 30 Longrightarrow a = 70
Portanto a função de demanda é
q(p) = 70 - p5

Passo 4

A receita R é dada por preço vezes quantidade:
R(p) = p,q(p) = pl(70 - p5r) = 70p - p^25

Passo 5

Para maximizar R(p) (uma parábola côncava para baixo), igualamos a derivada a zero:
R'(p) = 70 - 2p5 = 0 Longrightarrow 2p5 = 70 Longrightarrow p = 70cdot52 = 175
Logo, o preço ótimo é R$175,00.

Resposta

O preço que maximiza a receita é R$175,00.

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