Dê o domínio das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=raizx-3x^2-6x
Aqui o conteúdo é determinação de domínio para funções com raiz quadrada: precisamos que o radicando seja maior ou igual a zero e que o denominador não seja zero.

Passo 2

Primeiro identificamos o denominador e as proibições óbvias. O denominador é
x^2-6x = x,(x-6),
logo não podemos ter
x=0nem x=6

Passo 3

Agora impomos que o radicando seja não negativo:
x-3x,(x-6) >= 0

Passo 4

Para resolver essa inequação, fazemos o estudo de sinais dos três fatores lineares:
x-3, x, x-6
Os pontos críticos são x=0, x=3 e x=6.

Passo 5

Analisando cada intervalo:
  • Para x<0: numerador e denominador têm sinais opostos Rightarrow fracão negativa.
  • Para 0<x<3: x-3<0, x>0, x-6<0 Rightarrow dois sinais negativos no denominador dão positivo, vezes numerador negativo dá positivo.
  • Para 3<x<6: x-3>0, x>0, x-6<0 Rightarrow denomínio negativo, numerador positivo Rightarrow fracão negativa.
  • Para x>6: todos os três fatores positivos Rightarrow fracão positiva.
    No ponto x=3 a fração vale zero, o que é permitido no radicando.

Passo 6

Juntando as condições:
  • Não valem x=0 nem x=6.
  • A fração é >=0 em 0<x<=3 e em x>6.

Resposta

O domínio de f é
(0,3]cup(6,infty)

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