Um ângulo externo da base de um triângulo isósceles é igual a 54 do ângulo do vértice. Calcule os ângulos desse triângulo.

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo isósceles em que o ângulo externo à base vale tfrac54 vezes o ângulo do vértice. Vamos chamar o ângulo do vértice de alpha e cada um dos ângulos da base de beta. Para resolver, vamos usar a soma dos ângulos internos do triângulo e a definição de ângulo externo.

Passo 2

Como em todo triângulo a soma dos ângulos internos é 180^circ, temos
alpha + 2beta = 180^circ
Além disso, o ângulo externo na base é dado por 180^circ - beta. Pelo enunciado,
180^circ - beta = tfrac54,alpha

Passo 3

Da segunda equação isolamos alpha:
180^circ - beta = 54,alpha ;Longrightarrow; 5alpha = 4,(180^circ - beta) ;Longrightarrow; alpha = 720^circ - 4beta5

Passo 4

Substituindo alpha na soma interna:
720^circ - 4beta5 + 2beta = 180^circ ;Longrightarrow; 720^circ - 4beta + 10beta = 900^circ ;Longrightarrow; 6beta = 180^circ ;Longrightarrow; beta = 30^circ

Passo 5

Finalmente, usando alpha + 2beta = 180^circ,
alpha = 180^circ - 2cdot30^circ = 120^circ

Resposta

Os ângulos do triângulo são alpha=120^circ e beta=gamma=30^circ.

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