Num triângulo ABC qualquer, o ângulo oposto a , formado pelas bissetrizes dos ângulos externos em B e C, é igual ao complemento da metade do ângulo do vértice A do triângulo.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um triângulo ABC e consideramos as bissetrizes dos ângulos externos em B e em C. Essas duas retas se encontram em um ponto, formando um ângulo oposto ao lado BC. Precisamos mostrar que esse ângulo vale o complemento de metade do ângulo no vértice A, ou seja, 90^circ - tfracang<= A2. O conteúdo a ser usado envolve propriedades de ângulos externos de um triângulo e bissetrizes.
Passo 2
Em qualquer vértice, o ângulo externo é suplementar ao ângulo interno. Logo, no vértice B o ângulo externo mede
180^circ - ang<= B
e sua bissetriz divide esse valor pela metade. Assim, o ângulo formado entre a bissetriz externa em B e a reta BC vale
180^circ - ang<= B2
Analogamente, a bissetriz externa em C forma com BC o ângulo
180^circ - ang<= C2
Passo 3
Chamando de theta o ângulo entre as duas bissetrizes, vemos que esses dois ângulos acima são adjacentes ao longo de BC, e theta é suplementar à soma deles. Ou seja,