Num triângulo ABC qualquer, o ângulo oposto a BC, formado pelas bissetrizes dos ângulos externos em B e C, é igual ao complemento da metade do ângulo do vértice A do triângulo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo ABC e consideramos as bissetrizes dos ângulos externos em B e em C. Essas duas retas se encontram em um ponto, formando um ângulo oposto ao lado BC. Precisamos mostrar que esse ângulo vale o complemento de metade do ângulo no vértice A, ou seja, 90^circ - tfracang<= A2. O conteúdo a ser usado envolve propriedades de ângulos externos de um triângulo e bissetrizes.

Passo 2

Em qualquer vértice, o ângulo externo é suplementar ao ângulo interno. Logo, no vértice B o ângulo externo mede
180^circ - ang<= B
e sua bissetriz divide esse valor pela metade. Assim, o ângulo formado entre a bissetriz externa em B e a reta BC vale
180^circ - ang<= B2
Analogamente, a bissetriz externa em C forma com BC o ângulo
180^circ - ang<= C2

Passo 3

Chamando de theta o ângulo entre as duas bissetrizes, vemos que esses dois ângulos acima são adjacentes ao longo de BC, e theta é suplementar à soma deles. Ou seja,
theta = 180^circ - gl(180^circ - ang<= B2 + 180^circ - ang<= C2gr)

Passo 4

Calculando a soma dentro do parênteses:
180^circ - ang<= B2 + 180^circ - ang<= C2 = 360^circ - (ang<= B + ang<= C)2
Como ang<= A + ang<= B + ang<= C = 180^circ, temos ang<= B + ang<= C = 180^circ - ang<= A. Logo,
360^circ - (180^circ - ang<= A)2 = 180^circ + ang<= A2 = 90^circ + ang<= A2
Substituindo em theta:
theta = 180^circ - l(90^circ + tfracang<= A2r) = 90^circ - ang<= A2

Resposta

O ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos externos em B e C, oposto a BC, vale
90^circ - ang<= A2

Exercícios de Livros Relacionados