Um ângulo poliédrico PABCD é seccionado por um plano perpendicular à aresta PA, obtendo-se por seção um losango ABCD de 10 cm de lado. Sabendo que o diedro da aresta PA do ângulo poliédrico dado mede e que o segmento PA mede 10 cm , calcule a distância do vértice do ângulo poliédrico ao vértice do losango-seção.
Passo 1
O enunciado nos diz que temos um ângulo poliédrico com vértice em e arestas , , , . Uma secante perpendicular a , no ponto , corta as arestas , , nos pontos , , , produzindo no plano de secção o losango de lado . Além disso, a aresta mede e o diedro ao longo de (isto é, o ângulo dihedral entre os planos e ) é . Queremos a distância .
Para resolver isso, vamos usar duas ideias principais:
. Numa secção por plano perpendicular a no ponto , o ângulo dihedral ao longo de aparece como o ângulo entre as retas e dentro desse plano. . O losango tem todos os lados iguais a e ângulo em igual a .
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas conveniente:
Colocamos na origem, isto é, .
Alinhamos ao longo do eixo , com .
O plano de secção é então o plano .
Dentro desse plano, introduzimos coordenadas .
No plano , o ponto fica em . Vamos alinhar a aresta ao longo do eixo positivo e fazer com que o ângulo seja .
Passo 3
Como e está ao longo de , temos
Para e , o vetor na base (ey,ez) vale
AD = 10l(cos 60^circ,ey+sin 60^circ,ezr) = l(0,10cdottfrac12,10cdottfracraiz32r) = (0,5,5raiz3)
Logo
D = A + AD = (10,0,0)+(0,5,5raiz3) = (10,5,5raiz3)
Passo 4
No losango, BC é paralelo e igual a AD. Então
BC = AD = (0,5,5raiz3),
e
C = B + BC = (10,10,0)+(0,5,5raiz3) = (10,15,5raiz3)
Passo 5
Agora a distância de P (origem) a C=(10,15,5raiz3) é
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 835