Um ângulo poliédrico PABCD é seccionado por um plano perpendicular à aresta PA, obtendo-se por seção um losango ABCD de 10 cm de lado. Sabendo que o diedro da aresta PA do ângulo poliédrico dado mede 60^circ e que o segmento PA mede 10 cm , calcule a distância do vértice P do ângulo poliédrico ao vértice C do losango-seção.

Passo 1

O enunciado nos diz que temos um ângulo poliédrico com vértice em P e arestas PA, PB, PC, PD. Uma secante perpendicular a PA, no ponto A, corta as arestas PB, PC, PD nos pontos B, C, D, produzindo no plano de secção o losango ABCD de lado 10 cm. Além disso, a aresta PA mede 10 cm e o diedro ao longo de PA (isto é, o ângulo dihedral entre os planos PAB e PAD) é 60^circ. Queremos a distância PC.
Para resolver isso, vamos usar duas ideias principais:
1. Numa secção por plano perpendicular a PA no ponto A, o ângulo dihedral ao longo de PA aparece como o ângulo entre as retas AB e AD dentro desse plano.
2. O losango ABCD tem todos os lados iguais a 10 e ângulo em A igual a 60^circ.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas conveniente:
  • Colocamos P na origem, isto é, P=(0,0,0).
  • Alinhamos PA ao longo do eixo x, com A=(10,0,0).
  • O plano de secção é então o plano x=10.
  • Dentro desse plano, introduzimos coordenadas (y,z).
No plano x=10, o ponto A fica em (10,0,0). Vamos alinhar a aresta AB ao longo do eixo y positivo e fazer com que o ângulo ang<= BAD seja 60^circ.

Passo 3

Como AB=10 e está ao longo de y, temos
B = (10,10,0)
Para AD=10 e ang<= BAD=60^circ, o vetor AD na base (ey,ez) vale
AD = 10l(cos 60^circ,ey+sin 60^circ,ezr) = l(0,10cdottfrac12,10cdottfracraiz32r) = (0,5,5raiz3)
Logo
D = A + AD = (10,0,0)+(0,5,5raiz3) = (10,5,5raiz3)

Passo 4

No losango, BC é paralelo e igual a AD. Então
BC = AD = (0,5,5raiz3),
e
C = B + BC = (10,10,0)+(0,5,5raiz3) = (10,15,5raiz3)

Passo 5

Agora a distância de P (origem) a C=(10,15,5raiz3) é
PC = raiz10^2 + 15^2 + (5raiz3)^2 = raiz100 + 225 + 75 = raiz400 = 20

Resposta

A distância de P a C é 20 cm.

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