Um tronco de pirâmide tem por bases dois octógonos regulares cujos lados medem 4 cm e 2 cm , respectivamente. A altura do tronco é de 12 cm . Determine o volume do tronco de pirâmide, bem como o volume da pirâmide total na qual está contido o tronco.
792. A aresta lateral de um tronco de pirâmide triangular regular mede 4 m e forma um ângulo de 60^circ com a base maior. O raio do círculo circunscrito à maior base mede 4 m . Encontre o volume do tronco de pirâmide.
793. Um tronco de pirâmide tem por bases dois octógonos regulares cujos lados medem 4 cm e 2 cm , respectivamente. A altura do tronco é de 12 cm . Determine o volume do tronco de pirâmide, bem como o volume da pirâmide total na qual está contido o tronco.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de pirâmide com bases regulares de n=8 lados (octógonos) cujos lados medem 4 cm (base maior) e 2 cm (base menor), e altura h=12 cm. Vamos precisar de:
– fórmula da área de um polígono regular de n lados de comprimento a:
A = n,a^24cot!l(tfracpi nr)
– fórmula do volume de um tronco de pirâmide de altura h e áreas das bases A1 e A2:
Vtronco = h3l(A1 + A2 + raizA1A2r)
– semelhança de pirâmides para achar a altura total H da pirâmide original.

Passo 2

No caso de um octógono ( n=8) tem-se
cot!l(tfracpi8r)=raiz2+1,
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A = 8,a^24(raiz2+1) =2,a^2(raiz2+1)

Passo 3

Aplicando a1=4 cm e a2=2 cm:
A1 = 2,(4)^2(raiz2+1)=32(raiz2+1),
A2 = 2,(2)^2(raiz2+1)=8(raiz2+1)

Passo 4

Calculamos
raizA1A2 =raiz32(raiz2+1),cdot8(raiz2+1) =raiz256(raiz2+1)^2 =16(raiz2+1)
Logo o volume do tronco é
Vtronco =123l(32(raiz2+1)+8(raiz2+1)+16(raiz2+1)r) =4cdot56(raiz2+1) =224(raiz2+1),cm^3

Passo 5

Para a pirâmide total, use semelhança: a razão linear entre as faces é
k=a2a1=24=tfrac12
Se H é a altura total, a pirâmide menor (cortada) tem altura H' = kH. O tronco tem altura
h=H - H' = H - tfrac12H = tfrac12H,
portanto H=2h=24 cm.

Passo 6

O volume da pirâmide total (base de área A1 e altura H) é
Vtotal =13A1,H =13,32(raiz2+1)cdot24 =8cdot32(raiz2+1) =256(raiz2+1),cm^3

Resposta

Volume do tronco:
Vtronco=224(raiz2+1),cm^3
Volume da pirâmide total:
Vtotal=256(raiz2+1),cm^3

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