Determine as medidas dos raios das bases de um tronco de cone de revolução, sendo h a medida de sua altura, g a medida de sua geratriz e a^2 h pi3 o seu volume. Discuta.

Passo 1

O enunciado fala de um tronco de cone de revolução com altura h, geratriz g e volume
V = pi,a^2h3
Queremos encontrar os raios da base maior R e da base menor r em função de a,h,g. Para isso vamos usar duas fórmulas clássicas:
  1. Volume do tronco de cone
V = pi,h3l(R^2 + R,r + r^2r)
  1. Relação entre geratriz, altura e diferença de raios (teorema de Pitágoras no triângulo lateral)
g^2 = h^2 + (R - r)^2

Passo 2

Igualando a expressão dada de V com a fórmula do volume obtemos
pi,h3l(R^2 + R,r + r^2r) = pi,a^2h3 Longrightarrow R^2 + R,r + r^2 = a^2
E da geratriz temos
(R - r)^2 = g^2 - h^2

Passo 3

Definimos
p = R,r, d = R - r,
de modo que d^2 = g^2 - h^2. Note que
R^2 + r^2 = (R - r)^2 + 2R,r = d^2 + 2p,
então a soma das duas equações dá
R^2 + R,r + r^2 = (d^2 + 2p) + p = d^2 + 3p = a^2
Logo
3p = a^2 - d^2 = a^2 - (g^2 - h^2) = a^2 + h^2 - g^2,
p = R,r = a^2 + h^2 - g^23

Passo 4

Para achar s = R + r use
R^2 + R,r + r^2 = s^2 - p = a^2 ;Longrightarrow; s^2 = a^2 + p = a^2 + a^2 + h^2 - g^23 = 4a^2 + h^2 - g^23

Passo 5

Os valores de R e r são as raízes da equação
x^2 - s,x + p = 0,
cuja solução é
x = s pm raizs^2 - 4p2
Mas
s^2 - 4p = 4a^2 + h^2 - g^23 - 4cdota^2 + h^2 - g^23 = g^2 - h^21 = d^2
Portanto, escolhendo R>= r (isto é, d>=0), temos
R = s + d2, r = s - d2,
ou seja,
R = 12l(raiztfrac4a^2 + h^2 - g^23 + raizg^2 - h^2r), r = 12l(raiztfrac4a^2 + h^2 - g^23 - raizg^2 - h^2r)

Passo 6

Para que R e r sejam reais e não-negativos precisamos de
g^2 - h^2 >= 0 Longrightarrow g >= h,
e de s>= d, ou seja
4a^2 + h^2 - g^23 >= g^2 - h^2 Longrightarrow g^2 <= a^2 + h^2
Resumo das condições de existência:
h ;<=; g ;<=;raiza^2 + h^2
Limites especiais:
  • Se g = h, então d=0 e R = r = tfracaraiz3 (cilindro).
  • Se g = raiza^2 + h^2, então r=0 e R=a (cone de vértice).

Resposta

R = 12l(raiztfrac4a^2 + h^2 - g^23 + raizg^2 - h^2r), r = 12l(raiztfrac4a^2 + h^2 - g^23 - raizg^2 - h^2r),
com existência para
h <= g <= raiza^2 + h^2

Exercícios de Livros Relacionados