Determine as medidas dos raios das bases de um tronco de cone de revolução, sendo
a medida de sua altura,
a medida de sua geratriz e
o seu volume. Discuta.
Passo 1
O enunciado fala de um tronco de cone de revolução com altura
, geratriz
e volume
Queremos encontrar os raios da base maior
e da base menor
em função de
. Para isso vamos usar duas fórmulas clássicas:
- Volume do tronco de cone
- Relação entre geratriz, altura e diferença de raios (teorema de Pitágoras no triângulo lateral)
Passo 2
Igualando a expressão dada de
com a fórmula do volume obtemos
E da geratriz temos
Passo 3
Definimos
de modo que
. Note que
então a soma das duas equações dá
Logo
Passo 4
Para achar
use
Passo 5
Os valores de
e
são as raízes da equação
cuja solução é
Mas
Portanto, escolhendo
(isto é,
), temos
ou seja,
Passo 6
Para que
e
sejam reais e não-negativos precisamos de
e de
, ou seja
Resumo das condições de existência:
Limites especiais:
- Se
, então e (cilindro). - Se
, então e (cone de vértice).
Resposta
com existência para