A que distância do vértice devemos cortar um cone de revolução, por um plano paralelo à base, de modo que o volume do cone destacado seja 18 do volume do primeiro cone?

Passo 1

O enunciado apresenta um cone de revolução de altura H e raio da base R. Queremos cortar esse cone por um plano paralelo à base de modo que o cone destacado, de vértice comum ao original e altura x, tenha volume igual a tfrac18 do volume do cone original. Para isso vamos usar semelhança de sólidos (semelhança de cones) e a fórmula de volume de um cone.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos que descreve a seção lateral do cone, o raio r da base do cone menor (altura x) se relaciona com o raio R do cone original (altura H) por
rR ;=;xH

Passo 3

O volume do cone original é
Vorig = 13pi R^2 H,
e o volume do cone menor é
Vmenor = 13pi r^2 x
Substituindo r = (R/H),x em Vmenor, obtemos
Vmenor = 13pi gl(RHxgr)^!2,x = 13pi R^2H^2,x^3

Passo 4

A razão entre os volumes é
VmenorVorig = 13pi R^2H^2x^3 13pi R^2 H = x^3H^3 = l(xHr)^3
Queremos que essa razão seja tfrac18, ou seja,
l(xHr)^3 ;=;18

Passo 5

Da igualdade l(x/Hr)^3 = 1/8 segue
xH = raiz[,3]18 = 12,
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x = H2

Resposta

A distância do vértice em que se deve cortar é H2.

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