A que distância do vértice devemos cortar um cone de revolução, por um plano paralelo à base, de modo que o volume do cone destacado seja
do volume do primeiro cone?
Passo 1
O enunciado apresenta um cone de revolução de altura
e raio da base
. Queremos cortar esse cone por um plano paralelo à base de modo que o cone destacado, de vértice comum ao original e altura
, tenha volume igual a
do volume do cone original. Para isso vamos usar semelhança de sólidos (semelhança de cones) e a fórmula de volume de um cone.
Passo 2
Pela semelhança de triângulos que descreve a seção lateral do cone, o raio
da base do cone menor (altura
) se relaciona com o raio
do cone original (altura
) por
Passo 3
O volume do cone original é
e o volume do cone menor é
Substituindo
em
, obtemos
Passo 4
A razão entre os volumes é
Queremos que essa razão seja
, ou seja,
Passo 5
Da igualdade
segue
logo
Resposta
A distância do vértice em que se deve cortar é
.