3.2.28 A e B anticomutam: B A=-A B. Além disso, A^2=1, B^2=1. Mostre que traço(A)=̧ traço(B)=0̧.
Nota: As matrizes de Pauli e Dirac (Seção 3.4) são exemplos específicos.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes tais que
BA = -,AB,
e ainda
A^2 = I, B^2 = I
Queremos mostrar que tr(A)=0 e tr(B)=0. Usaremos as propriedades do traço: linearidade e a invariança cíclica
tr(XY)=tr(YX)

Passo 2

Da relação de anticomutação BA = -,AB e de B^2=I segue
BAB ;=; B,(A,B);=;B,(-,B,A);=;-,B^2,A;=;-,A

Passo 3

Aplicando traço em ambos os lados de
BAB = -,A
e usando linearidade, obtemos
tr(BAB) ;=;-,tr(A)

Passo 4

Pela invariança cíclica do traço temos
tr(BAB) =tr(B^2,A) =tr(I,A) =tr(A)
Então
tr(A) = -,tr(A)

Passo 5

Da igualdade tr(A) = -,tr(A) segue imediatamente
tr(A)=0

Passo 6

Trocando os papéis de A e B no mesmo argumento (parte de AB=-BA e A^2=I), concluímos de modo análogo
tr(B)=0

Resposta

tr(A)=0 e tr(B)=0.

Exercícios de Livros Relacionados