3.2.28 A e B anticomutam: B A=-A B. Além disso, A^{2}=1, B^{2}=1. Mostre que \operatorname{traço}(A)=̧ \operatorname{traço}(\mathrm{B})=0̧.
Nota: As matrizes de Pauli e Dirac (Seção 3.4) são exemplos específicos.

Passo 1

O enunciado diz que A e B são matrizes tais que
BA = -\,AB,
e ainda
A^2 = I, \qquad B^2 = I.
Queremos mostrar que \mathrm{tr}(A)=0 e \mathrm{tr}(B)=0. Usaremos as propriedades do traço: linearidade e a invariança cíclica
\mathrm{tr}(XY)=\mathrm{tr}(YX).

Passo 2

Da relação de anticomutação BA = -\,AB e de B^2=I segue
BAB \;=\; B\,(A\,B)\;=\;B\,(-\,B\,A)\;=\;-\,B^2\,A\;=\;-\,A.

Passo 3

Aplicando traço em ambos os lados de
BAB = -\,A
e usando linearidade, obtemos
\mathrm{tr}(BAB) \;=\;-\,\mathrm{tr}(A).

Passo 4

Pela invariança cíclica do traço temos
\mathrm{tr}(BAB) =\mathrm{tr}(B^2\,A) =\mathrm{tr}(I\,A) =\mathrm{tr}(A).
Então
\mathrm{tr}(A) = -\,\mathrm{tr}(A).

Passo 5

Da igualdade \mathrm{tr}(A) = -\,\mathrm{tr}(A) segue imediatamente
\mathrm{tr}(A)=0.

Passo 6

Trocando os papéis de A e B no mesmo argumento (parte de AB=-BA e A^2=I), concluímos de modo análogo
\mathrm{tr}(B)=0.

Resposta

\mathrm{tr}(A)=0 e \mathrm{tr}(B)=0.

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