3.2.38 Matrizes têm uma utilidade muito grande para permanecer como propriedade exclusiva dos físicos. Elas podem aparecer onde quer que haja relações lineares. Por exemplo, em um estudo de movimento populacional, a fração inicial de uma população fixa em cada uma das n áreas (ou indústrias ou religiões etc.) é representada por um vetor coluna de n componentes P. O movimento de pessoas de uma área para outra em um tempo dado é descrito por uma matriz (estocástica) n times n T. Aqui, Ti j é a fração da população na j-ésima área que passa para a i-ésima área. (As frações que não passam são cobertas por i=j.) Com P descrevendo a distribuição inicial da população, a distribuição final da população é dada pela equação matricial T P=Q.
Por essa definição, sumi=1^n Pi=1.
(a) Mostre que a conservação de pessoas requer que
sumi=1^n Ti j=1, j=1,2, ldots, n
(b) Prove que
sumi=1^n Qi=1
preserva a conservação de pessoas.

Passo 1

O enunciado trata de um vetor de proporções P em n áreas, com
sumi=1^nPi = 1,
e de uma matriz de transição estocástica ntimes n chamada T. A distribuição final é Q=TP. Queremos (a) deduzir que a conservação da população exige
sumi=1^nTij=1, j=1,dots,n,
e (b) mostrar que, sob essa condição, de fato
sumi=1^nQi=1,
ou seja, a soma das componentes de Q também vale 1.

Passo 2

Começamos escrevendo a soma total das componentes de Q. Como
Qi = sumj=1^n Tij,Pj,
temos
sumi=1^nQi = sumi=1^nsumj=1^n Tij,Pj = sumj=1^nl(sumi=1^nTijr)Pj
Esse cálculo só usa a definição de produto matriz–vetor e troca de ordem de soma.

Passo 3

(a) Se queremos que a população total permaneça 1 para qualquer vetor P com sumjPj=1, então a expressão
sumi=1^nQi = sumj=1^nl(sumi=1^nTijr)Pj
deve se reduzir a
sumj=1^nPj = 1
independente dos valores de Pj. Isso só é possível se, para cada j,
sumi=1^nTij=1
Essa é precisamente a condição de colunas de T somarem 1, típica de matriz estocástica.

Passo 4

(b) Agora, assumindo que
voltamos à soma das :
Isso mostra que, se é uma distribuição (soma das componentes =1), então também soma 1, preservando a população.)

Resposta

(a) sumi=1^nTij=1, j=1,2,dots,n
(b) sumi=1^nQi=1

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