3.2.38 Matrizes têm uma utilidade muito grande para permanecer como propriedade exclusiva dos físicos. Elas podem aparecer onde quer que haja relações lineares. Por exemplo, em um estudo de movimento populacional, a fração inicial de uma população fixa em cada uma das n áreas (ou indústrias ou religiões etc.) é representada por um vetor coluna de n componentes \mathbf{P}. O movimento de pessoas de uma área para outra em um tempo dado é descrito por uma matriz (estocástica) n \times n T. Aqui, T_{i j} é a fração da população na j-ésima área que passa para a i-ésima área. (As frações que não passam são cobertas por i=j.) Com \mathbf{P} descrevendo a distribuição inicial da população, a distribuição final da população é dada pela equação matricial \mathbf{T P}=\mathbf{Q}.
Por essa definição, \sum_{i=1}^{n} P_{i}=1.
(a) Mostre que a conservação de pessoas requer que
\sum_{i=1}^{n} T_{i j}=1, \quad j=1,2, \ldots, n
(b) Prove que
\sum_{i=1}^{n} Q_{i}=1
preserva a conservação de pessoas.

Passo 1

O enunciado trata de um vetor de proporções \mathbf{P} em n áreas, com
\sum_{i=1}^{n}P_i = 1,
e de uma matriz de transição estocástica n\times n chamada \mathbf{T}. A distribuição final é \mathbf{Q}=\mathbf{T}\mathbf{P}. Queremos (a) deduzir que a conservação da população exige
\sum_{i=1}^{n}T_{ij}=1,\quad j=1,\dots,n,
e (b) mostrar que, sob essa condição, de fato
\sum_{i=1}^{n}Q_i=1,
ou seja, a soma das componentes de \mathbf{Q} também vale 1.

Passo 2

Começamos escrevendo a soma total das componentes de \mathbf{Q}. Como
Q_i = \sum_{j=1}^{n} T_{ij}\,P_j,
temos
\sum_{i=1}^{n}Q_i = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} T_{ij}\,P_j = \sum_{j=1}^{n}\Bigl(\sum_{i=1}^{n}T_{ij}\Bigr)P_j.
Esse cálculo só usa a definição de produto matriz–vetor e troca de ordem de soma.

Passo 3

(a) Se queremos que a população total permaneça 1 para qualquer vetor \mathbf{P} com \sum_jP_j=1, então a expressão
\sum_{i=1}^{n}Q_i = \sum_{j=1}^{n}\Bigl(\sum_{i=1}^{n}T_{ij}\Bigr)P_j
deve se reduzir a
\sum_{j=1}^{n}P_j = 1
independente dos valores de P_j. Isso só é possível se, para cada j,
\sum_{i=1}^{n}T_{ij}=1.
Essa é precisamente a condição de colunas de \mathbf{T} somarem 1, típica de matriz estocástica.

Passo 4

(b) Agora, assumindo que
\sum_{i=1}^{n}T_{ij}=1 \quad\text{e}\quad \sum_{j=1}^{n}P_j=1,
voltamos à soma das Q_i:
\sum_{i=1}^{n}Q_i = \sum_{j=1}^{n}\Bigl(\sum_{i=1}^{n}T_{ij}\Bigr)P_j = \sum_{j=1}^{n}1\cdot P_j = \sum_{j=1}^{n}P_j =1.
Isso mostra que, se \mathbf{T}$ é estocástica (colunas somam 1) e \(\mathbf{P} é uma distribuição (soma das componentes =1), então \mathbf{Q}=\mathbf{T}\mathbf{P} também soma 1, preservando a população.)

Resposta

(a) \displaystyle \sum_{i=1}^{n}T_{ij}=1,\quad j=1,2,\dots,n.
(b) \displaystyle \sum_{i=1}^{n}Q_i=1.

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