3.2.38 Matrizes têm uma utilidade muito grande para permanecer como propriedade exclusiva dos físicos. Elas podem aparecer onde quer que haja relações lineares. Por exemplo, em um estudo de movimento populacional, a fração inicial de uma população fixa em cada uma das
áreas (ou indústrias ou religiões etc.) é representada por um vetor coluna de
componentes
. O movimento de pessoas de uma área para outra em um tempo dado é descrito por uma matriz (estocástica)
T. Aqui,
é a fração da população na
-ésima área que passa para a
-ésima área. (As frações que não passam são cobertas por
.) Com
descrevendo a distribuição inicial da população, a distribuição final da população é dada pela equação matricial
.
Por essa definição,
.
(a) Mostre que a conservação de pessoas requer que
(b) Prove que
preserva a conservação de pessoas.
Por essa definição,
(a) Mostre que a conservação de pessoas requer que
Passo 1
O enunciado trata de um vetor de proporções
em
áreas, com
e de uma matriz de transição estocástica
chamada
. A distribuição final é
. Queremos (a) deduzir que a conservação da população exige
e (b) mostrar que, sob essa condição, de fato
ou seja, a soma das componentes de
também vale 1.
Passo 2
Começamos escrevendo a soma total das componentes de
. Como
temos
Esse cálculo só usa a definição de produto matriz–vetor e troca de ordem de soma.
Passo 3
(a) Se queremos que a população total permaneça 1 para qualquer vetor
com
, então a expressão
deve se reduzir a
independente dos valores de
. Isso só é possível se, para cada
,
Essa é precisamente a condição de colunas de
somarem 1, típica de matriz estocástica.
Passo 4
(b) Agora, assumindo que
voltamos à soma das
:
Isso mostra que, se é uma distribuição (soma das componentes =1), então
também soma 1, preservando a população.)
Resposta
(a)
(b)
(b)