3.2.3 Demonstre que a matriz A é um operador linear mostrando que
\mathrm{A}\left(c_{1} \mathbf{r}_{1}+c_{2} \mathbf{r}_{2}\right)=c_{1} \mathrm{~A} \mathbf{r}_{1}+c_{2} \mathrm{~A} \mathbf{r}_{2}
Pode-se mostrar que uma matriz n \times n é o operador linear mais geral em um espaço vetorial n dimensional. Isso significa que todo operador linear nesse espaço vetorial n dimensional é equivalente a uma matriz.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer matriz n\times n chamada \mathrm{A}, quaisquer vetores \mathbf r_{1},\mathbf r_{2}\in\mathbb R^{n} e quaisquer escalares c_{1},c_{2}, vale
\mathrm{A}\bigl(c_{1}\mathbf r_{1}+c_{2}\mathbf r_{2}\bigr) = c_{1}\,\mathrm{A}\mathbf r_{1} + c_{2}\,\mathrm{A}\mathbf r_{2}.
Isso é exatamente a definição de operador linear.

Passo 2

Defina o vetor
\mathbf r = c_{1}\mathbf r_{1} + c_{2}\mathbf r_{2},
e escreva suas componentes: para cada j=1,\dots,n,
r_{j} = c_{1}(r_{1})_{j} + c_{2}(r_{2})_{j}.

Passo 3

Use a definição de produto matricial e a distributividade do somatório sobre soma e escalar para a i-ésima componente:
(\mathrm{A}\mathbf r)_{i} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}\,r_{j} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}\bigl(c_{1}(r_{1})_{j}+c_{2}(r_{2})_{j}\bigr) = c_{1}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(r_{1})_{j} + c_{2}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}(r_{2})_{j} = c_{1}(\mathrm{A}\mathbf r_{1})_{i} + c_{2}(\mathrm{A}\mathbf r_{2})_{i}.
Como isso vale para todo i, concluímos a igualdade de vetores.

Resposta

\mathrm{A}\bigl(c_{1}\mathbf r_{1}+c_{2}\mathbf r_{2}\bigr) = c_{1}\,\mathrm{A}\mathbf r_{1} + c_{2}\,\mathrm{A}\mathbf r_{2},
logo \mathrm{A} é um operador linear.

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