3.2.3 Demonstre que a matriz A é um operador linear mostrando que
Pode-se mostrar que uma matriz
é o operador linear mais geral em um espaço vetorial
dimensional. Isso significa que todo operador linear nesse espaço vetorial
dimensional é equivalente a uma matriz.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para qualquer matriz
chamada
, quaisquer vetores
e quaisquer escalares
, vale
Isso é exatamente a definição de operador linear.
Passo 2
Defina o vetor
e escreva suas componentes: para cada
,
Passo 3
Use a definição de produto matricial e a distributividade do somatório sobre soma e escalar para a
-ésima componente:
Como isso vale para todo
, concluímos a igualdade de vetores.
Resposta
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é um operador linear.