3.2.3 Demonstre que a matriz A é um operador linear mostrando que
A(c1 r1+c2 r2)=c1 A r1+c2 A r2
Pode-se mostrar que uma matriz n times n é o operador linear mais geral em um espaço vetorial n dimensional. Isso significa que todo operador linear nesse espaço vetorial n dimensional é equivalente a uma matriz.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer matriz ntimes n chamada A, quaisquer vetores r1, r2in R^n e quaisquer escalares c1,c2, vale
Al(c1 r1+c2 r2r) = c1,A r1 + c2,A r2
Isso é exatamente a definição de operador linear.

Passo 2

Defina o vetor
r = c1 r1 + c2 r2,
e escreva suas componentes: para cada j=1,dots,n,
rj = c1(r1)j + c2(r2)j

Passo 3

Use a definição de produto matricial e a distributividade do somatório sobre soma e escalar para a i-ésima componente:
(A r)i = sumj=1^naij,rj = sumj=1^naijl(c1(r1)j+c2(r2)jr) = c1sumj=1^naij(r1)j + c2sumj=1^naij(r2)j = c1(A r1)i + c2(A r2)i
Como isso vale para todo i, concluímos a igualdade de vetores.

Resposta

Al(c1 r1+c2 r2r) = c1,A r1 + c2,A r2,
logo A é um operador linear.

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