Aplicar as regras de L’Hospital ao cálculo dos seguintes limites:
lim x 0(1-sen x)^cot x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0(1-senx)^cot x
O conteúdo envolvido é limite de tipo exponencial indeterminado (1+u)^v e aplicação da regra de L’Hospital após usar o logaritmo.

Passo 2

Denote
L = limxto0(1-senx)^cot x
Tomamos o logaritmo para passar o expoente para frente:
ln L = limxto0 cot x;lnl(1-senxr)
Como cot x=1/tan x, reescrevemos
ln L = limxto0lnl(1-senxr)tan x,
que é do tipo 0/0.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador:
derivada do numerador
ddxlnl(1-senxr) =-cos x1-senx,
derivada do denominador
ddxtan x=sec^2 x
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ln L =limxto0 -cos x/(1-senx)sec^2 x =limxto0gl(-cos x1-senxgr)cos^2 x =-limxto0cos^3 x1-senx
Como cos0=1 e sen0=0, isso dá
ln L = -1

Passo 4

Voltando ao L, temos
L = e^ln L = e^-1 = 1e

Resposta

1e

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