Aplicar as regras de L’Hospital ao cálculo dos seguintes limites:
lim x 0(cos x^2)^e^1 / x^4-1

Passo 1

O enunciado pede
limxto0l(cos x^2r)^e^1/x^4-1,
que é da forma 1^infty. Vamos usar logaritmo para transformar em uma indeterminação do tipo inftycdot0 e depois aplicar L’Hospital.

Passo 2

Definimos
f(x)=l(cos x^2r)^e^1/x^4-1 Longrightarrow f(x)=expl((e^1/x^4-1)ln(cos x^2)r)
Seja
y=(e^1/x^4-1)ln(cos x^2)
Então lim f(x)=expl(lim yr).

Passo 3

Notamos que y é indeterminação do tipo inftycdot0. Reescrevemos como quociente para aplicar L’Hospital:
y =ln(cos x^2)1,e^1/x^4-1,
Quando xto0, ln(cos x^2)to0 e tfrac1e^1/x^4-1to0, logo é caso 0/0.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
Derivada do numerador
ddxln(cos x^2) =-sin(x^2)cdot2xcos(x^2) =-2xtan(x^2)
Derivada do denominador
ddx1e^1/x^4-1 =-(e^1/x^4-1)'(e^1/x^4-1)^2 =--4,e^1/x^4/x^5(e^1/x^4-1)^2 =4,e^1/x^4x^5,(e^1/x^4-1)^2

Passo 5

Pela regra de L’Hospital,
limxto0y =limxto0 -2xtan(x^2) 4,e^1/x^4x^5(e^1/x^4-1)^2 =limxto0l(-x^6,tan(x^2),(e^1/x^4-1)^22,e^1/x^4r)
Para xto0, tan(x^2)sim x^2 e (e^1/x^4-1)^2/e^1/x^4sim e^1/x^4, logo o quociente se comporta como
-x^6,x^2,e^1/x^42 =-x^8,e^1/x^42 ;longrightarrow;-infty

Passo 6

Como yto-infty, temos
f(x)=exp(y)longrightarrow0

Resposta

0

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