APOSENTADORIA Com 25 anos, Rubem começa a fazer depósitos anuais de \mathrm{R} \ 2.500,00 em um fundo de aposentadoria que rende juros de5 %$ ao ano capitalizados continuamente. Considerando os depósitos como um fluxo de receita contínuo, qual será o saldo do fundo quando Rubem tiver 60 anos? E quando tiver 65 anos?

Passo 1

O enunciado diz que, a partir dos 25 anos, Rubem faz depósitos contínuos à taxa de \mathrm{R}\$\,2.500 por ano em um fundo que rende a 5\% ao ano com capitalização contínua. Queremos o saldo ao completar 60 anos (ou seja, após 35 anos de depósitos) e ao completar 65 anos (após 40 anos). Para isso, usamos a fórmula do valor futuro de um fluxo de receita contínuo com taxa de juros composta continuamente.

Passo 2

Seja m=2500 (depósito por ano, contínuo) e r=0,05 (taxa anual). O saldo ao tempo T é
S(T)\;=\;\int_{0}^{T} m\,e^{r\,(T - t)}\,dt.
Como m e r são constantes, integra-se diretamente:
S(T) = m \int_{0}^{T} e^{r(T-t)}\,dt = m \int_{0}^{T} e^{r\,u}\,du \quad\text{(com \(u=T-t\))} = m\;\frac{e^{rT}-1}{r}.

Passo 3

Para Rubem ter 60 anos, ele faz depósitos de 25 até 60, ou seja T=60-25=35 anos. Substituindo:
S(35) = 2500\;\frac{e^{0{,}05\cdot 35}-1}{0{,}05}.
Calculando numericamente:
\displaystyle e^{0{,}05\cdot 35}=e^{1{,}75}\approx 5{,}753,
logo
S(35) \approx 2500\;\frac{5{,}753 - 1}{0{,}05} =2500\;\frac{4{,}753}{0{,}05} =2500\cdot 95{,}06 \approx 237\,650.

Passo 4

Para Rubem ter 65 anos, T=65-25=40 anos. Assim,
S(40) = 2500\;\frac{e^{0{,}05\cdot 40}-1}{0{,}05}.
Numericamente:
\displaystyle e^{0{,}05\cdot 40}=e^{2}\approx 7{,}389,
então
S(40) \approx 2500\;\frac{7{,}389 - 1}{0{,}05} =2500\;\frac{6{,}389}{0{,}05} =2500\cdot 127{,}78 \approx 319\,450.

Resposta

O saldo ao completar 60 anos será aproximadamente \mathrm{R}\$\,237\,650.
O saldo ao completar 65 anos será aproximadamente \mathrm{R}\$\,319\,450.

Exercícios de Livros Relacionados