Consideremos duas esferas concêntricas. A esfera exterior é seccionada por um plano tangente à interior, determinando uma calota esférica de
de área. Calcule o raio da esfera exterior, sendo 3 cm a medida do raio da esfera interior.
Passo 1
O enunciado apresenta duas esferas concêntricas de raios
cm (interna) e
(externa). Um plano tangencia a esfera interna (distância ao centro igual a
cm) e intersecta a esfera externa, gerando uma calota esférica de área
c
. Vamos usar o conteúdo de geometria de esferas, em particular a fórmula da área de uma calota esférica.
Passo 2
Seja
a distância do plano ao centro comum das esferas. Como o plano tangencia a esfera interna, temos
A altura da calota na esfera externa é a distância entre o plano e o ponto mais alto da esfera externa, ou seja
Passo 3
A fórmula da área
de uma calota esférica de altura
em uma esfera de raio
é
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Cancelando
em ambos os lados e desenvolvendo, vem
Aplicando a fórmula de Bhaskara para
,
Como o raio é positivo, escolhemos o sinal “
”.