Consideremos duas esferas concêntricas. A esfera exterior é seccionada por um plano tangente à interior, determinando uma calota esférica de 100 pi cm^2 de área. Calcule o raio da esfera exterior, sendo 3 cm a medida do raio da esfera interior.

Passo 1

O enunciado apresenta duas esferas concêntricas de raios 3 cm (interna) e R (externa). Um plano tangencia a esfera interna (distância ao centro igual a 3 cm) e intersecta a esfera externa, gerando uma calota esférica de área 100pi c m^2. Vamos usar o conteúdo de geometria de esferas, em particular a fórmula da área de uma calota esférica.

Passo 2

Seja d a distância do plano ao centro comum das esferas. Como o plano tangencia a esfera interna, temos
d = 3
A altura da calota na esfera externa é a distância entre o plano e o ponto mais alto da esfera externa, ou seja
h = R - d = R - 3

Passo 3

A fórmula da área A de uma calota esférica de altura h em uma esfera de raio R é
A = 2pi R,h
Substituindo A=100pi e h=R-3, obtemos
2pi R,(R - 3) = 100pi

Passo 4

Cancelando pi em ambos os lados e desenvolvendo, vem
2R,(R - 3) = 100 Longrightarrow 2R^2 - 6R - 100 = 0 Longrightarrow R^2 - 3R - 50 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara para R^2 - 3R - 50 = 0,
R = 3 pm raiz(-3)^2 - 4cdot1cdot(-50)2 = 3 pm raiz9 + 2002 = 3 pm raiz2092
Como o raio é positivo, escolhemos o sinal “ +”.

Resposta

R = 3 + raiz2092 cmapprox 8,73 cm

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