Uma esfera é seccionada por um plano a 3 cm do centro da esfera. Sabendo que as áreas das calotas determinadas estão entre si como 35, calcule o volume da esfera.

Passo 1

O enunciado diz que uma esfera de raio R é seccionada por um plano que passa a uma distância d=3 cm do centro. Isso gera duas calotas esféricas, cujas áreas estão na razão tfrac35. Vamos usar a fórmula da área de calota e resolver para R, depois calcular o volume da esfera.

Passo 2

Seja h1 a altura da calota de um lado e h2 a do outro. Como o plano está a d do centro:
h1 = R - d e h2 = R + d
A área de cada calota é dada por
A = 2pi R,h

Passo 3

As áreas satisfazem
A1A2 =2pi R,h12pi R,h2 =h1h2 =R - dR + d =35
Substituindo d=3:
R - 3R + 3 = 35 ;Longrightarrow; 5(R - 3)=3(R + 3) ;Longrightarrow; 5R - 15 = 3R + 9 ;Longrightarrow; 2R = 24 ;Longrightarrow; R = 12 cm

Passo 4

O volume da esfera de raio R é
V = 43pi R^3 = 43pi ,(12)^3 = 43pi cdot 1728 = 2304pi;cm^3

Resposta

O volume da esfera é 2304pi cm ^3.

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