A área da base de um cone de revolução é 13 da área total. Calcule o ângulo do setor circular que é o desenvolvimento da superfície lateral do cone.

Passo 1

Temos um cone de revolução de raio da base R e geratriz s. A área da base é
Ab = pi R^2,
a área lateral é
Al = pi R s,
e a área total é Ab + Al. O enunciado diz que
Ab = tfrac13(Ab + Al)
Queremos achar o ângulo central phi do setor de raio s cuja circunferência do setor (comprimento de arco) é a circunferência da base do cone.

Passo 2

Aplicando a condição Ab = tfrac13(Ab + Al), temos
pi R^2 = 13l(pi R^2 + pi R sr)
Multiplicando ambos os lados por 3 e dividindo por pi R, obtemos
3R^2 = R^2 + R s Longrightarrow 2R^2 = R s Longrightarrow s = 2R

Passo 3

Na planificação da superfície lateral, temos um setor de círculo de raio s cujo comprimento de arco é igual à circunferência da base, isto é,
arco = 2pi R
Se phi é o ângulo central do setor (em radianos), então
s,phi = 2pi R

Passo 4

Substituindo s = 2R na equação do arco,
2R;phi = 2pi R Longrightarrow phi = pi
Em graus, isso corresponde a
phi = 180^circ

Resposta

phi = pi radianos (ou 180^circ).

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