A área lateral de uma pirâmide triangular regular é o quádruplo da área da base. Calcule o volume, sabendo que a aresta da base mede 3 cm .
Passo 1
O enunciado diz que temos uma pirâmide de base triangular regular (ou seja, a base é um triângulo equilátero de aresta
) e que a área lateral é quatro vezes a área da base. Queremos o volume dessa pirâmide. Para resolver vamos precisar de:
– a fórmula da área de um triângulo equilátero,
– expressão da área lateral em função da aresta da base e da aresta lateral (slant height),
– Teorema de Pitágoras para relacionar a aresta lateral com a altura da pirâmide,
– fórmula do volume .
– a fórmula da área de um triângulo equilátero,
– expressão da área lateral em função da aresta da base e da aresta lateral (slant height),
– Teorema de Pitágoras para relacionar a aresta lateral com a altura da pirâmide,
– fórmula do volume
Passo 2
Calculamos primeiro a área da base, que é um triângulo equilátero de lado
. A área de um triângulo equilátero é
Substituindo
:
Passo 3
Seja
a aresta lateral (slant height), ou seja, a altura de cada face lateral desde o meio de um lado da base até o vértice da pirâmide. Cada face lateral é um triângulo de base
e altura
, então sua área é
. Como há 3 faces,
Mas sabemos que
. Logo
Passo 4
Para achar a altura
da pirâmide usamos o corte que passa pelo vértice, pelo centro da base e pelo ponto médio de um dos lados. Nesse triângulo retângulo, a hipotenusa é
e o cateto na base é a distância do centro (centroide) ao meio do lado, que em um triângulo equilátero de lado
vale
Aqui
, então
Pelo Teorema de Pitágoras:
Passo 5
Finalmente, o volume da pirâmide é