A área lateral de uma pirâmide triangular regular é o quádruplo da área da base. Calcule o volume, sabendo que a aresta da base mede 3 cm .

Passo 1

O enunciado diz que temos uma pirâmide de base triangular regular (ou seja, a base é um triângulo equilátero de aresta 3:cm) e que a área lateral é quatro vezes a área da base. Queremos o volume dessa pirâmide. Para resolver vamos precisar de:
– a fórmula da área de um triângulo equilátero,
– expressão da área lateral em função da aresta da base e da aresta lateral (slant height),
– Teorema de Pitágoras para relacionar a aresta lateral com a altura da pirâmide,
– fórmula do volume tfrac13timesárea da basetimesa<uraá.

Passo 2

Calculamos primeiro a área da base, que é um triângulo equilátero de lado a=3:cm. A área de um triângulo equilátero é
Abase = raiz34,a^2
Substituindo a=3:
Abase = raiz34times 3^2 = 9raiz34:cm^2

Passo 3

Seja l a aresta lateral (slant height), ou seja, a altura de cada face lateral desde o meio de um lado da base até o vértice da pirâmide. Cada face lateral é um triângulo de base 3 e altura l, então sua área é tfrac12times 3times l = tfrac3l2. Como há 3 faces,
Alateral = 3;3l2 = 9l2
Mas sabemos que Alateral = 4,Abase. Logo
9l2 = 4;9raiz34 Longrightarrow 9l2 = 9raiz3 Longrightarrow l = 2raiz3:cm

Passo 4

Para achar a altura H da pirâmide usamos o corte que passa pelo vértice, pelo centro da base e pelo ponto médio de um dos lados. Nesse triângulo retângulo, a hipotenusa é l e o cateto na base é a distância do centro (centroide) ao meio do lado, que em um triângulo equilátero de lado a vale
d = araiz36
Aqui a=3, então
d = 3raiz36 = raiz32
Pelo Teorema de Pitágoras:
H = raizl^2 - d^2 = raizl(2raiz3r)^2 - l(tfracraiz32r)^2 = raiz12 - tfrac34 = raiztfrac48-34 = raiz452 = 3raiz52:cm

Passo 5

Finalmente, o volume da pirâmide é
V = 13;Abase;H = 13;9raiz34;3raiz52 = 27raiz1524 = 9raiz158:cm^3

Resposta

V = 9raiz158:cm^3

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