Calcule a razão entre os volumes de duas pirâmides, P1 e P2, sabendo que os vértices são os mesmos e que a base de P2 é um quadrado obtido ligando-se os pontos médios da base quadrada de P1.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas pirâmides P1 e P2 com o mesmo vértice e altura, cujas bases são quadrados. A base de P2 é o quadrado formado pelos pontos médios dos lados da base de P1. Para comparar volumes, vamos usar a fórmula
V = 13,A,h
onde A é a área da base e h a altura (a mesma para ambas).

Passo 2

Se a base de P1 é um quadrado de lado s, então
A1 = s^2
Ao ligar os pontos médios, o quadrado interno tem lado
s' = sraiz2
e, portanto,
A2 = gl(sraiz2gr)^2 = s^22

Passo 3

Como ambas as pirâmides têm a mesma altura h, a razão dos volumes é igual à razão das áreas das bases:
V2V1 = tfrac13A2,htfrac13A1,h = A2A1 = tfracs^22s^2 = 12

Resposta

V2V1 = 12

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