O volume de uma pirâmide triangular regular é 64 raiz3 cm^3. Determine a medida da aresta lateral, sabendo que a altura é igual ao semiperímetro da base.

Passo 1

O enunciado dá o volume de uma pirâmide de base triangular regular igual a 64raiz3,cm^3 e diz que a altura h da pirâmide é igual ao semiperímetro da base. O que precisamos:
– Expressar o semiperímetro da base em termos da aresta da base a.
– Usar a fórmula do volume
V = tfrac13 ,(área da base)cdot h á
– Encontrar a aresta lateral L ligando o vértice ao vértice da base, sabendo h e a distância do centro da base a um vértice.

Passo 2

Seja a a aresta da base (triângulo equilátero). O semiperímetro da base é metade do perímetro, logo
h = tfrac12,(3a) = tfrac3a2
A área da base é
Áreabase = a^2raiz34 Á

Passo 3

Aplicando a fórmula do volume
V = 13,a^2raiz34,cdot 3a2 = a^3raiz38
e igualando a 64raiz3, temos
a^3raiz38 = 64raiz3 Longrightarrow a^38 = 64 Longrightarrow a^3 = 512 Longrightarrow a = 8,cm

Passo 4

Com a=8, a altura da pirâmide é
h = 3a2 = 3cdot82 = 12,cm
No triângulo equilátero de lado 8, o centro (que é também o circuncentro) fica a uma distância
r = araiz3 = 8raiz3 = 8raiz33
de cada vértice da base.

Passo 5

A aresta lateral L é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por h e r, logo
L = raizh^2 + r^2 = raiz12^2 + l(tfrac8raiz33r)^2 = raiz144 + 64cdot39 = raiz1296 + 1929 = raiz14889 = raiz4963 = 4raiz933,cm

Resposta

A medida da aresta lateral é 4raiz933,cm

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