O volume de uma pirâmide triangular regular é
. Determine a medida da aresta lateral, sabendo que a altura é igual ao semiperímetro da base.
Passo 1
O enunciado dá o volume de uma pirâmide de base triangular regular igual a
e diz que a altura
da pirâmide é igual ao semiperímetro da base. O que precisamos:
– Expressar o semiperímetro da base em termos da aresta da base .
– Usar a fórmula do volume
– Expressar o semiperímetro da base em termos da aresta da base
– Usar a fórmula do volume
– Encontrar a aresta lateral
ligando o vértice ao vértice da base, sabendo
e a distância do centro da base a um vértice.
Passo 2
Seja
a aresta da base (triângulo equilátero). O semiperímetro da base é metade do perímetro, logo
A área da base é
Passo 3
Aplicando a fórmula do volume
e igualando a
, temos
Passo 4
Com
, a altura da pirâmide é
No triângulo equilátero de lado
, o centro (que é também o circuncentro) fica a uma distância
de cada vértice da base.
Passo 5
A aresta lateral
é a hipotenusa do triângulo retângulo formado por
e
, logo
Resposta
A medida da aresta lateral é