A área lateral de um tronco de cone vale 560 pi cm^2. O raio da base maior e a geratriz têm medidas iguais. O raio da base menor vale 8 cm e a altura do tronco mede 16 cm . Determine a geratriz.

Passo 1

O enunciado dá os dados de um tronco de cone com área lateral AL=560pi c m^2, raio da base menor r=8 cm e altura h=16 cm. Sabemos também que o raio da base maior R é igual à geratriz s. Vamos usar a fórmula da área lateral de um tronco de cone e a relação geométrica que liga R, r, h e s.

Passo 2

A fórmula da área lateral de um tronco de cone é
AL = pi,(R + r),s
Como AL=560pi e r=8, temos
pi,(R + 8),s = 560pi Longrightarrow (R + 8),s = 560
E como s = R, substituímos s por R.

Passo 3

Substituindo s=R e r=8 na equação (R+8)s=560, obtemos
(R + 8)R = 560 Longrightarrow R^2 + 8R - 560 = 0
Calculando o discriminante:
De<a = 8^2 + 4cdot560 = 64 + 2240 = 2304,
raizDe<a=48. Assim
R = -8 + 482 = 20(descartamos a raiz negativa),
logo s = R = 20 cm.

Passo 4

Para garantir que esse s é compatível com a altura h=16 e a diferença de raios R - r =20 - 8 =12, verificamos
s^2 = (R - r)^2 + h^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400,
logo s = raiz400 = 20 cm, consistente com o valor encontrado.

Resposta

A geratriz do tronco de cone mede 20 cm.

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